Giúp mình với! Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến AM. Kẻ,HD,HE lần lượt vuông góc với AB, AC. Gọi N là giio điểm cca AM vvàHHE. Chứng,minh rằng.,1) Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.,2) Gọi O là trung điểm của DE . Chứng minh : A,O,H thẳng hàng.,$3)~\widehat C=\widehat{ADE}.$,$4)~AM\bot DE.$,$5)~BN//DE$,6) Qua N kẻ $NI\bot AB,$ Chứng minh : $IE//BC.$,m Xác đđnh vị trí của điểm N trên AM sao cho $IE=\frac1nBC.$

Question

Accepted Answer

1/ Xét tứ giác ADHE có:
$\displaystyle \widehat{DAE} =\widehat{ADH} =\widehat{AEH} =90^{o}$.
$\displaystyle \Rightarrow $ADHE là hình chữ nhật (dpcm)
2/ Theo câu 2, ADHE là hình chữ nhật
$\displaystyle \Rightarrow $AH và DE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà O là trung điểm DE (bài cho)
$\displaystyle \Rightarrow $A,O,H thẳng hàng (dpcm)
3/ Vì ADHE là hình chữ nhật (câu 1)
$\displaystyle \Rightarrow OA=OD=OE=OH\Rightarrow \vartriangle $OAD cân tại O
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{ADE} =\widehat{BAH}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $AHC vuông tại H có: $\displaystyle \widehat{HAC} +\hat{C} =90^{o}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{HAC} +\widehat{BAH} =\widehat{BAC} =90^{o}$.
$\displaystyle \Rightarrow \hat{C} =\widehat{ADE}$ (dpcm)
4/ Gọi K là giao điểm AM và DE
Xét $\displaystyle \vartriangle $ABC vuông tại A có M là trung điểm BC
$\displaystyle \Rightarrow AM=BM=CM\Rightarrow \vartriangle $AMC cân tại M$\displaystyle \Rightarrow \widehat{MAC} =\hat{C}$
Theo ý 3, $\displaystyle \hat{C} =\widehat{ADE}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $ADE vuông tại A có:$\displaystyle \widehat{ADE} +\widehat{AEK} =90^{o}$.
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{KAE} +\widehat{AEK} =90^{o}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $AEK có: $\displaystyle \widehat{AKE} +\widehat{KAE} +\widehat{KEA} =180^{o}$ (tổng 3 góc trong $\displaystyle \vartriangle $)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{AKE} =90^{o} \Rightarrow AM\bot DE$ (dpcm)
5/ Ta có: HD$\displaystyle \bot $AB mà AC$\displaystyle \bot $AB
$\displaystyle \Rightarrow HD\ //\ AC\Rightarrow \widehat{BHD} =\hat{C}$
Mà $\displaystyle \hat{C} =\widehat{KAE} \Rightarrow \widehat{BHD} =\widehat{KAE}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $BDH và $\displaystyle \vartriangle $NEA có:
$\displaystyle \widehat{BDH} =\widehat{NEA} =90^{o}$
HD = AE (ADHE là hình chữ nhật)
$\displaystyle \widehat{BHD} =\widehat{NAE}$ (cmt)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle BDH=\vartriangle NEA$ (g.c.g)
$\displaystyle \Rightarrow BD=NE$ (tính chất 2 $\displaystyle \vartriangle $bằng nhau)
Xét tứ giác BDEN có:
BD // NE và BD = NE
$\displaystyle \Rightarrow $BDEN là hình bình hành
$\displaystyle \Rightarrow $BN // DE (dpcm)