Heppppppppppp

Câu 16: a) Ta có $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1+3, 2+1, -3+5) = (4, 3, 2)$ b) Ta có $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times 3 + 2 \times 1 + (-3) \times 5 = 3 + 2 - 15 = -10$ c) Ta có $\overrightarrow{a}^2 = |\overrightarrow{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ d) Ta có $\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-10}{\sqrt{14} \times \sqrt{35}} = \frac{-10}{\sqrt{490}} = \frac{-10}{7\sqrt{10}}$ Tính $\theta$: $\theta = \arccos\left(\frac{-10}{7\sqrt{10}}\right) \approx 115^\circ 51'$ Đáp án đúng là: a) $(4, 3, 2)$, b) $-10$, c) $14$, d) $115^\circ 51'$. Câu 17: Để tìm độ dài đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \). Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x \] Tiếp theo, ta tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{và} \quad x = 2 \] Bước 2: Xác định tọa độ của các điểm cực trị. - Khi \( x = 0 \): \[ y = 0^3 - 3(0)^2 + 1 = 1 \] Do đó, điểm cực trị thứ nhất là \( A(0, 1) \). - Khi \( x = 2 \): \[ y = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3 \] Do đó, điểm cực trị thứ hai là \( B(2, -3) \). Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị \( A \) và \( B \). Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Thay tọa độ của \( A \) và \( B \) vào công thức: \[ AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-3 - 1)^2} \] \[ AB = \sqrt{2^2 + (-4)^2} \] \[ AB = \sqrt{4 + 16} \] \[ AB = \sqrt{20} \] \[ AB = 2\sqrt{5} \] Vậy độ dài đoạn thẳng \( AB \) là \( 2\sqrt{5} \). Câu 18: Để tìm thời điểm mà mực nước trong hồ đạt mức cao nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số $h(t)$. Ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ h'(t) = \left(-\frac{1}{3}t^3 + 5t^2 + 24t\right)' = -t^2 + 10t + 24 \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ h'(t) = 0 \] \[ -t^2 + 10t + 24 = 0 \] \[ t^2 - 10t - 24 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2} \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2} \] \[ t = \frac{10 \pm 14}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{10 + 14}{2} = 12 \] \[ t_2 = \frac{10 - 14}{2} = -2 \] Vì \( t > 0 \), ta chỉ xét nghiệm \( t = 12 \). 3. Kiểm tra tính chất cực trị: Ta kiểm tra đạo hàm hai lần để xác định tính chất cực trị tại \( t = 12 \): \[ h''(t) = (-t^2 + 10t + 24)' = -2t + 10 \] Tại \( t = 12 \): \[ h''(12) = -2(12) + 10 = -24 + 10 = -14 < 0 \] Vậy \( t = 12 \) là điểm cực đại. 4. Xác định thời điểm cần thông báo: Theo yêu cầu, phải thông báo cho nhân dân di dời trước khi xả nước ít nhất 5 giờ. Vì mực nước đạt mức cao nhất vào thời điểm \( t = 12 \) giờ, nên cần thông báo trước đó ít nhất 5 giờ. Do đó, thời điểm cần thông báo là: \[ 12 - 5 = 7 \text{ giờ} \] Vậy cần thông báo cho người dân di dời trước khi xả nước 7 giờ. Câu 19: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ trên đoạn $[-1; 3]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số trên khoảng mở $(-1, 3)$. - Tính đạo hàm của hàm số: $y' = 3x^2 - 6x$. - Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Bước 2: Kiểm tra các điểm cực trị và các biên của đoạn $[-1; 3]$. - Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$, và $x = 3$: - $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2$. - $y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$. - $y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$. - $y(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2$. Bước 3: So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất. - Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: $y(-1) = -2$, $y(0) = 2$, $y(2) = -2$, và $y(3) = 2$. Từ đó, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 3]$ là $2$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ trên đoạn $[-1; 3]$ là $\boxed{2}$. Câu 20: Để giải quyết câu hỏi về hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta cần phân tích đồ thị của hàm số. 1. Phân tích đồ thị: - Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0, d)$, do đó $d > 0$. - Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị, tức là đạo hàm bậc hai của hàm số phải thay đổi dấu. Điều này chỉ xảy ra nếu $a \neq 0$. Vì đồ thị hàm số có dạng cong lên ở hai đầu, nên $a > 0$. - Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm, tức là phương trình $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ có ba nghiệm thực. Điều này cho thấy $b$ và $c$ có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào vị trí của các nghiệm. 2. Tổng kết: - $a > 0$: vì đồ thị cong lên ở hai đầu. - $d > 0$: vì đồ thị cắt trục tung ở phía trên trục hoành. - $b$ và $c$ có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào vị trí của các nghiệm. Do đó, có ít nhất hai số dương trong các số $a, b, c, d$. Đáp số: Có ít nhất hai số dương trong các số $a, b, c, d$. Lời giải chi tiết cho câu hỏi về tọa độ điểm D: 1. Tìm tọa độ của các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-5 + 3, 6 - 4, 2 - 2) = (-2, 2, 0) \] - Vectơ $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-4 + 3, 7 - 4, -1 - 2) = (-1, 3, -3) \] 2. Tính vectơ $\overrightarrow{AD}$: \[ \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AD} = 2(-2, 2, 0) + 3(-1, 3, -3) \] \[ \overrightarrow{AD} = (-4, 4, 0) + (-3, 9, -9) \] \[ \overrightarrow{AD} = (-7, 13, -9) \] 3. Tìm tọa độ điểm D: \[ D = A + \overrightarrow{AD} \] \[ D = (-3, 4, 2) + (-7, 13, -9) \] \[ D = (-10, 17, -7) \] Đáp số: Tọa độ điểm D là $(-10, 17, -7)$.