Giúp tôi với

Câu 1. a) Tập xác định của hàm số là $D=R\setminus\{1\}$ Đúng vì mẫu số của hàm số là $x-1$, do đó hàm số không xác định tại $x=1$. b) Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ Để kiểm tra điều này, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}\right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 - 2x + 2)'(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 2}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Đặt $y' = 0$ để tìm điểm cực trị: \[ \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Ta kiểm tra dấu của $y'$ trong các khoảng $( -\infty, 0 )$, $( 0, 1 )$, $( 1, 2 )$, $( 2, +\infty )$: - Khi $x < 0$: $y' < 0$ (hàm số giảm) - Khi $0 < x < 1$: $y' > 0$ (hàm số tăng) - Khi $1 < x < 2$: $y' < 0$ (hàm số giảm) - Khi $x > 2$: $y' > 0$ (hàm số tăng) Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$. c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 2$ Để tìm tiệm cận đứng, ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến các giá trị làm mẫu số bằng 0. \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \] Khi $x \to 1$, mẫu số $x - 1 \to 0$, nhưng tử số $x^2 - 2x + 2$ không tiến đến 0. Do đó, giới hạn này không tồn tại và hàm số có tiệm cận đứng tại $x = 1$. Vậy câu này sai. d) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên đi qua điểm $A(1; -1)$ Để tìm đường tiệm cận xiên, ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 2 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{2}{x} \to 0$ và $\frac{1}{x} \to 0$. Do đó: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 2}{1} = x - 2 \] Đường tiệm cận xiên là $y = x - 2$. Điểm $A(1; -1)$ nằm trên đường thẳng $y = x - 2$ vì khi thay $x = 1$ vào phương trình $y = x - 2$, ta có $y = 1 - 2 = -1$. Vậy câu này đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi dựa vào bảng biến thiên và tính chất của hàm số. a) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty).$ Bảng biến thiên cho thấy hàm số giảm từ $-\infty$ đến 2 và từ 2 đến $+\infty$. Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$. Điều này đúng. b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $x=1$ Tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{ax + 1}{bx + c}$ là giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến $\pm \infty$. Ta có: \[ \lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{ax + 1}{bx + c} = \frac{a}{b} \] Theo bảng biến thiên, khi $x$ tiến đến $\pm \infty$, giá trị của hàm số tiến đến 1. Do đó, $\frac{a}{b} = 1$, suy ra $a = b$. Điều này đúng. c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=2$ Tiệm cận đứng của hàm số là giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0. Ta có: \[ bx + c = 0 \Rightarrow x = -\frac{c}{b} \] Theo bảng biến thiên, tiệm cận đứng là $x = 2$. Do đó, $-\frac{c}{b} = 2$, suy ra $c = -2b$. Điều này đúng. d) Giá trị của biểu thức $a + b + c$ bằng 0 Ta đã biết $a = b$ và $c = -2b$. Thay vào biểu thức $a + b + c$ ta có: \[ a + b + c = b + b - 2b = 0 \] Do đó, giá trị của biểu thức $a + b + c$ bằng 0. Điều này đúng. Kết luận: Cả 4 phát biểu đều đúng. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) Hàm số đã cho đồng biến trên $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty).$ Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x-3}{x+1}$: \[ y' = \frac{(x+1) - (x-3)}{(x+1)^2} = \frac{4}{(x+1)^2}. \] Ta thấy rằng $y' > 0$ cho mọi $x \neq -1$. Do đó, hàm số đồng biến trên cả hai khoảng $(-\infty, -1)$ và $(-1, +\infty)$. Phát biểu này đúng. b) Hàm số đã cho có hai điểm cực trị. Phát biểu này sai vì đạo hàm $y' = \frac{4}{(x+1)^2}$ không bao giờ bằng 0 (trừ khi mẫu số bằng 0, nhưng điều này không xảy ra vì $x \neq -1$). Do đó, hàm số không có điểm cực trị nào. c) Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$. Tiệm cận đứng: Khi $x \to -1$, mẫu số $(x+1) \to 0$, nên $y \to \pm \infty$. Vậy tiệm cận đứng là $x = -1$. Tiệm cận ngang: Khi $x \to \pm \infty$, ta có: \[ y = \frac{x-3}{x+1} = \frac{1 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \to \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1. \] Vậy tiệm cận ngang là $y = 1$. Phát biểu này đúng. d) Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Phát biểu này đúng vì hàm số chỉ không xác định tại $x = -1$ (khi mẫu số bằng 0). Tóm lại, các phát biểu đúng là: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên quy luật chuyển động của vật và các khái niệm về vận tốc và gia tốc. a) Vận tốc của vật tại thời điểm 3 giây là: \( v(1) = 5 \, \text{m/s} \). Đầu tiên, ta tìm vận tốc của vật bằng cách tính đạo hàm của hàm \( s(t) \): \[ s(t) = \frac{1}{3}t^3 - t^2 + 6t \] \[ v(t) = s'(t) = t^2 - 2t + 6 \] Bây giờ, ta tính \( v(1) \): \[ v(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 6 = 1 - 2 + 6 = 5 \, \text{m/s} \] Do đó, mệnh đề a) là đúng. b) Vận tốc của vật tại thời điểm 4 giây là: \( v(3) = 17 \, \text{m/s} \). Ta đã biết \( v(t) = t^2 - 2t + 6 \). Bây giờ, ta tính \( v(3) \): \[ v(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 6 = 9 - 6 + 6 = 9 \, \text{m/s} \] Do đó, mệnh đề b) là sai vì \( v(3) = 9 \, \text{m/s} \), không phải 17 m/s. c) Hàm \( v(t) = t^2 - 2t + 6 \). Ta đã tính đạo hàm của \( s(t) \) và thấy rằng: \[ v(t) = t^2 - 2t + 6 \] Do đó, mệnh đề c) là đúng. d) Hàm \( a(t) = 2t + 2 \). Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = t^2 - 2t + 6 \] \[ a(t) = v'(t) = 2t - 2 \] Do đó, mệnh đề d) là sai vì \( a(t) = 2t - 2 \), không phải \( 2t + 2 \). Tóm lại: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là sai.