Giups minfh vowis moij nguoif owii

Ví dụ 1: a) Tính $\int_{1}^{3} x^2 \, dx$ - Tìm nguyên hàm của $x^2$: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + C \] - Áp dụng công thức tính tích phân: \[ \int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \] Vậy $\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \frac{26}{3}$ b) Tính $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos t \, dt$ - Tìm nguyên hàm của $\cos t$: \[ F(t) = \sin t + C \] - Áp dụng công thức tính tích phân: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos t \, dt = \left[ \sin t \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) - \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos t \, dt = \frac{\sqrt{3}}{2}$ c) Tính $\int_{\cos^2 u}^{\frac{\pi}{t}} \sin x \, dx$ - Tìm nguyên hàm của $\sin x$: \[ F(x) = -\cos x + C \] - Áp dụng công thức tính tích phân: \[ \int_{\cos^2 u}^{\frac{\pi}{t}} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_{\cos^2 u}^{\frac{\pi}{t}} = -\cos \left( \frac{\pi}{t} \right) - (-\cos (\cos^2 u)) = -\cos \left( \frac{\pi}{t} \right) + \cos (\cos^2 u) \] Vậy $\int_{\cos^2 u}^{\frac{\pi}{t}} \sin x \, dx = -\cos \left( \frac{\pi}{t} \right) + \cos (\cos^2 u)$ d) Tính $\int_{1}^{2} 2^x \, dx$ - Tìm nguyên hàm của $2^x$: \[ F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] - Áp dụng công thức tính tích phân: \[ \int_{1}^{2} 2^x \, dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2} = \frac{4}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2} \] Vậy $\int_{1}^{2} 2^x \, dx = \frac{2}{\ln 2}$ Ví dụ 2: Phần a) Tính $\int^1_0(x+1)dx$ 1. Xác định hàm số và khoảng tích phân: - Hàm số: $f(x) = x + 1$ - Khoảng tích phân: $[0, 1]$ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số: - Nguyên hàm của $x$ là $\frac{x^2}{2}$ - Nguyên hàm của $1$ là $x$ - Vậy nguyên hàm của $x + 1$ là $\frac{x^2}{2} + x$ 3. Áp dụng công thức tính tích phân: \[ \int^1_0 (x + 1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]^1_0 \] 4. Thay cận vào nguyên hàm: \[ \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]^1_0 = \left( \frac{1^2}{2} + 1 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{2} + 1 \right) - 0 \] \[ = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] Vậy: \[ \int^1_0 (x + 1) dx = \frac{3}{2} \] Phần b) Tính $\int^1_{-1}\sqrt{1-x^2}dx$ 1. Xác định hàm số và khoảng tích phân: - Hàm số: $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ - Khoảng tích phân: $[-1, 1]$ 2. Nhận xét về hàm số: - Hàm số $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ là hàm số chẵn vì $f(-x) = f(x)$. 3. Áp dụng tính chất của tích phân đối với hàm số chẵn: - Nếu $f(x)$ là hàm số chẵn trên đoạn $[-a, a]$, thì: \[ \int^{-a}_a f(x) dx = 2 \int^a_0 f(x) dx \] - Ở đây, $a = 1$, nên: \[ \int^{-1}_1 \sqrt{1 - x^2} dx = 2 \int^1_0 \sqrt{1 - x^2} dx \] 4. Tính $\int^1_0 \sqrt{1 - x^2} dx$: - Biểu thức $\sqrt{1 - x^2}$ mô tả nửa đường tròn đơn vị ở phía trên trục hoành từ $x = 0$ đến $x = 1$. - Diện tích của nửa đường tròn này là $\frac{\pi}{4}$ (vì diện tích toàn bộ đường tròn đơn vị là $\pi$, và nửa đường tròn là $\frac{\pi}{2}$, chia đôi lại là $\frac{\pi}{4}$). 5. Nhân với 2 để tính toàn bộ tích phân: \[ \int^{-1}_1 \sqrt{1 - x^2} dx = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \] Vậy: \[ \int^{-1}_1 \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{\pi}{2} \] Kết luận: a) $\int^1_0 (x + 1) dx = \frac{3}{2}$ b) $\int^{-1}_1 \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{\pi}{2}$ Ví dụ 3: a) Tính $\int (x^3 + 3\sqrt{x}) \, dx$ Ta có: \[ \int (x^3 + 3\sqrt{x}) \, dx = \int x^3 \, dx + \int 3\sqrt{x} \, dx \] Tính từng phần: \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_1 \] \[ \int 3\sqrt{x} \, dx = 3 \int x^{1/2} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} + C_2 = 2x^{3/2} + C_2 \] Vậy: \[ \int (x^3 + 3\sqrt{x}) \, dx = \frac{x^4}{4} + 2x^{3/2} + C \] b) Tính $\int_0^2 (e^x - 2\cos x) \, dx$ Ta có: \[ \int_0^2 (e^x - 2\cos x) \, dx = \int_0^2 e^x \, dx - \int_0^2 2\cos x \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_0^2 e^x \, dx = [e^x]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \] \[ \int_0^2 2\cos x \, dx = 2 \int_0^2 \cos x \, dx = 2 [\sin x]_0^2 = 2 (\sin 2 - \sin 0) = 2 \sin 2 \] Vậy: \[ \int_0^2 (e^x - 2\cos x) \, dx = e^2 - 1 - 2 \sin 2 \] c) Tính $\int_{x^2}^2 -\frac{3}{x^2} \, dx$ Ta có: \[ \int_{x^2}^2 -\frac{3}{x^2} \, dx = -3 \int_{x^2}^2 \frac{1}{x^2} \, dx \] Tính tích phân: \[ \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C \] Áp dụng cận trên và cận dưới: \[ -3 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{x^2}^2 = -3 \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{x^2} \right) = -3 \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{x^2} \right) = \frac{3}{2} - \frac{3}{x^2} \] Vậy: \[ \int_{x^2}^2 -\frac{3}{x^2} \, dx = \frac{3}{2} - \frac{3}{x^2} \] Đáp số: a) $\frac{x^4}{4} + 2x^{3/2} + C$ b) $e^2 - 1 - 2 \sin 2$ c) $\frac{3}{2} - \frac{3}{x^2}$ Ví dụ 4: Để tính tích phân $\int^3_0 |x - 2| \, dx$, ta cần chia đoạn tích phân thành các đoạn nhỏ hơn sao cho biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu trên mỗi đoạn. Trên đoạn $[0, 2]$, ta có $x - 2 < 0$, do đó $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Trên đoạn $[2, 3]$, ta có $x - 2 \geq 0$, do đó $|x - 2| = x - 2$. Do đó, ta có thể viết tích phân ban đầu thành tổng của hai tích phân: \[ \int^3_0 |x - 2| \, dx = \int^2_0 (2 - x) \, dx + \int^3_2 (x - 2) \, dx. \] Bây giờ, ta tính từng tích phân này riêng lẻ. 1. Tính $\int^2_0 (2 - x) \, dx$: \[ \int^2_0 (2 - x) \, dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]^2_0 = \left( 2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2} \right) - \left( 2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2} \right) = 4 - 2 = 2. \] 2. Tính $\int^3_2 (x - 2) \, dx$: \[ \int^3_2 (x - 2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]^3_2 = \left( \frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2 \right) = \left( \frac{9}{2} - 6 \right) - \left( 2 - 4 \right) = \left( \frac{9}{2} - 6 \right) - (-2) = \left( \frac{9}{2} - \frac{12}{2} \right) + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}. \] Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: \[ \int^3_0 |x - 2| \, dx = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}. \] Vậy, tích phân $\int^3_0 |x - 2| \, dx$ là $\frac{5}{2}$. Câu 1. Để tính $F(e)$, ta cần tìm nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ và sử dụng điều kiện ban đầu $F(1) = 1$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{x}$. Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ là $\ln|x| + C$, trong đó $C$ là hằng số tích phân. Vì $x$ thuộc khoảng $(0; +\infty)$, ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối: \[ F(x) = \ln x + C \] Bước 2: Áp dụng điều kiện ban đầu $F(1) = 1$ để xác định hằng số $C$. \[ F(1) = \ln 1 + C = 1 \] \[ 0 + C = 1 \] \[ C = 1 \] Do đó, nguyên hàm cụ thể của $f(x) = \frac{1}{x}$ là: \[ F(x) = \ln x + 1 \] Bước 3: Tính $F(e)$. \[ F(e) = \ln e + 1 \] \[ F(e) = 1 + 1 \] \[ F(e) = 2 \] Vậy, giá trị của $F(e)$ là 2. Câu 2. Để tính các tích phân đã cho bằng cách sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, ta sẽ xác định diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và khoảng tích phân tương ứng. a) $\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ Biểu thức $\sqrt{4 - x^2}$ là phương trình của nửa trên của đường tròn tâm O(0,0) và bán kính R = 2. Tích phân này đại diện cho diện tích của nửa trên của đường tròn này từ x = -2 đến x = 2. Diện tích của toàn bộ đường tròn là: \[ A_{\text{đường tròn}} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \] Diện tích của nửa trên của đường tròn là: \[ A_{\text{nửa trên}} = \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi \] Do đó: \[ \int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = 2\pi \] b) $\int_{-2}^{2} \left(1 - \frac{1}{2}x\right) \, dx$ Biểu thức $1 - \frac{1}{2}x$ là phương trình của một đường thẳng. Tích phân này đại diện cho diện tích giữa đường thẳng này và trục Ox từ x = -2 đến x = 2. Để tính diện tích này, ta chia thành hai phần: 1. Diện tích tam giác ở bên trái (từ x = -2 đến x = 0) 2. Diện tích tam giác ở bên phải (từ x = 0 đến x = 2) Diện tích tam giác ở bên trái: \[ A_{\text{trái}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 \] Diện tích tam giác ở bên phải: \[ A_{\text{phải}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \] Tổng diện tích: \[ A_{\text{tổng}} = 2 + 1 = 3 \] Do đó: \[ \int_{-2}^{2} \left(1 - \frac{1}{2}x\right) \, dx = 3 \] c) $\int_{0}^{3} (2x + 1) \, dx$ Biểu thức $2x + 1$ là phương trình của một đường thẳng. Tích phân này đại diện cho diện tích giữa đường thẳng này và trục Ox từ x = 0 đến x = 3. Diện tích này là diện tích của một hình thang: \[ A_{\text{hình thang}} = \frac{1}{2} \cdot (1 + 7) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 \] Do đó: \[ \int_{0}^{3} (2x + 1) \, dx = 12 \] d) $\int_{1}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx$ Biểu thức $\sqrt{16 - x^2}$ là phương trình của nửa trên của đường tròn tâm O(0,0) và bán kính R = 4. Tích phân này đại diện cho diện tích của nửa trên của đường tròn này từ x = 1 đến x = 4. Diện tích của toàn bộ đường tròn là: \[ A_{\text{đường tròn}} = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \] Diện tích của nửa trên của đường tròn là: \[ A_{\text{nửa trên}} = \frac{1}{2} \cdot 16\pi = 8\pi \] Diện tích của nửa trên của đường tròn từ x = 1 đến x = 4 là: \[ A_{\text{từ 1 đến 4}} = 8\pi - \left(\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 1^2\right) = 8\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{15\pi}{2} \] Do đó: \[ \int_{1}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx = \frac{15\pi}{2} \] Đáp số: \[ a) \int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = 2\pi \] \[ b) \int_{-2}^{2} \left(1 - \frac{1}{2}x\right) \, dx = 3 \] \[ c) \int_{0}^{3} (2x + 1) \, dx = 12 \] \[ d) \int_{1}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx = \frac{15\pi}{2} \] Câu 3. Để tính giá trị của \( f(4) - f(1) \), ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân. Ta biết rằng đạo hàm của \( f(x) \) là \( f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{x} \). Bước 1: Tính tích phân của \( f'(x) \). Ta có: \[ f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{x} = \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} = x^{-\frac{1}{2}} - x^{-1} \] Tích phân của \( f'(x) \) từ 1 đến 4 là: \[ \int_{1}^{4} f'(x) \, dx = \int_{1}^{4} \left( x^{-\frac{1}{2}} - x^{-1} \right) \, dx \] Bước 2: Tính từng phần tích phân. Tích phân của \( x^{-\frac{1}{2}} \): \[ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x} \] Tích phân của \( x^{-1} \): \[ \int x^{-1} \, dx = \ln|x| \] Do đó: \[ \int_{1}^{4} \left( x^{-\frac{1}{2}} - x^{-1} \right) \, dx = \left[ 2\sqrt{x} - \ln|x| \right]_{1}^{4} \] Bước 3: Đánh giá tại các giới hạn. Tại \( x = 4 \): \[ 2\sqrt{4} - \ln|4| = 2 \cdot 2 - \ln 4 = 4 - \ln 4 \] Tại \( x = 1 \): \[ 2\sqrt{1} - \ln|1| = 2 \cdot 1 - \ln 1 = 2 - 0 = 2 \] Bước 4: Tính hiệu giữa hai giá trị này. \[ \left[ 2\sqrt{x} - \ln|x| \right]_{1}^{4} = (4 - \ln 4) - 2 = 4 - \ln 4 - 2 = 2 - \ln 4 \] Vậy giá trị của \( f(4) - f(1) \) là: \[ f(4) - f(1) = 2 - \ln 4 \] Đáp số: \( 2 - \ln 4 \) Câu 4. Để tính \( G(2) \), ta sử dụng công thức liên quan đến nguyên hàm và tích phân. Theo định lý Newton-Leibniz, ta có: \[ \int^2_{-1} g(x) \, dx = G(2) - G(-1) \] Biết rằng: \[ \int^2_{-1} g(x) \, dx = 6 \] và \[ G(-1) = 8 \] Thay vào công thức trên, ta có: \[ 6 = G(2) - 8 \] Giải phương trình này để tìm \( G(2) \): \[ G(2) = 6 + 8 \] \[ G(2) = 14 \] Vậy, giá trị của \( G(2) \) là 14. Đáp số: \( G(2) = 14 \). Câu 5. Để tính $\int^1_0 f(x) \, dx$, ta sẽ sử dụng thông tin đã cho là $\int^1_0 [2f(x) - 1] \, dx = 3$. Bước 1: Ta viết lại biểu thức tích phân đã cho: \[ \int^1_0 [2f(x) - 1] \, dx = 3 \] Bước 2: Ta tách tích phân thành hai phần: \[ \int^1_0 2f(x) \, dx - \int^1_0 1 \, dx = 3 \] Bước 3: Tính tích phân của hằng số 1 từ 0 đến 1: \[ \int^1_0 1 \, dx = [x]^1_0 = 1 - 0 = 1 \] Bước 4: Thay kết quả này vào phương trình: \[ \int^1_0 2f(x) \, dx - 1 = 3 \] Bước 5: Giải phương trình để tìm $\int^1_0 2f(x) \, dx$: \[ \int^1_0 2f(x) \, dx = 3 + 1 = 4 \] Bước 6: Chia cả hai vế cho 2 để tìm $\int^1_0 f(x) \, dx$: \[ \int^1_0 f(x) \, dx = \frac{4}{2} = 2 \] Vậy, $\int^1_0 f(x) \, dx = 2$.