Giups minfh vowis moij nguoif owii

Ví dụ 1: a) Tính $$ - Tìm nguyên hàm của $$: $$ - Áp dụng công thức tính tích phân: $$ Vậy $$ b) Tính $$ - Tìm nguyên hàm của $$: $$ - Áp dụng công thức tính tích phân: $$ Vậy $$ c) Tính $$ - Tìm nguyên hàm của $$: $$ - Áp dụng công thức tính tích phân: $$ Vậy $$ d) Tính $$ - Tìm nguyên hàm của $$: $$ - Áp dụng công thức tính tích phân: $$ Vậy $$ Ví dụ 2: Phần a) Tính $$ 1. Xác định hàm số và khoảng tích phân: - Hàm số: $$ - Khoảng tích phân: $$ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số: - Nguyên hàm của $$ là $$ - Nguyên hàm của $$ là $$ - Vậy nguyên hàm của $$ là $$ 3. Áp dụng công thức tính tích phân: $$ 4. Thay cận vào nguyên hàm: $$ $$ $$ Vậy: $$ Phần b) Tính $$ 1. Xác định hàm số và khoảng tích phân: - Hàm số: $$ - Khoảng tích phân: $$ 2. Nhận xét về hàm số: - Hàm số $$ là hàm số chẵn vì $$. 3. Áp dụng tính chất của tích phân đối với hàm số chẵn: - Nếu $$ là hàm số chẵn trên đoạn $$, thì: $$ - Ở đây, $$, nên: $$ 4. Tính $$: - Biểu thức $$ mô tả nửa đường tròn đơn vị ở phía trên trục hoành từ $$ đến $$. - Diện tích của nửa đường tròn này là $$ (vì diện tích toàn bộ đường tròn đơn vị là $$, và nửa đường tròn là $$, chia đôi lại là $$). 5. Nhân với 2 để tính toàn bộ tích phân: $$ Vậy: $$ Kết luận: a) $$ b) $$ Ví dụ 3: a) Tính $$ Ta có: $$ Tính từng phần: $$ $$ Vậy: $$ b) Tính $$ Ta có: $$ Tính từng phần: $$ $$ Vậy: $$ c) Tính $$ Ta có: $$ Tính tích phân: $$ Áp dụng cận trên và cận dưới: $$ Vậy: $$ Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ Ví dụ 4: Để tính tích phân $$, ta cần chia đoạn tích phân thành các đoạn nhỏ hơn sao cho biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu trên mỗi đoạn. Trên đoạn $$, ta có $$, do đó $$. Trên đoạn $$, ta có $$, do đó $$. Do đó, ta có thể viết tích phân ban đầu thành tổng của hai tích phân: $$ Bây giờ, ta tính từng tích phân này riêng lẻ. 1. Tính $$: $$ 2. Tính $$: $$ Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: $$ Vậy, tích phân $$ là $$. Câu 1. Để tính $$, ta cần tìm nguyên hàm của $$ trên khoảng $$ và sử dụng điều kiện ban đầu $$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $$. Nguyên hàm của $$ là $$, trong đó $$ là hằng số tích phân. Vì $$ thuộc khoảng $$, ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối: $$ Bước 2: Áp dụng điều kiện ban đầu $$ để xác định hằng số $$. $$ $$ $$ Do đó, nguyên hàm cụ thể của $$ là: $$ Bước 3: Tính $$. $$ $$ $$ Vậy, giá trị của $$ là 2. Câu 2. Để tính các tích phân đã cho bằng cách sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, ta sẽ xác định diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và khoảng tích phân tương ứng. a) $$ Biểu thức $$ là phương trình của nửa trên của đường tròn tâm O(0,0) và bán kính R = 2. Tích phân này đại diện cho diện tích của nửa trên của đường tròn này từ x = -2 đến x = 2. Diện tích của toàn bộ đường tròn là: $$ Diện tích của nửa trên của đường tròn là: $$ Do đó: $$ b) $$ Biểu thức $$ là phương trình của một đường thẳng. Tích phân này đại diện cho diện tích giữa đường thẳng này và trục Ox từ x = -2 đến x = 2. Để tính diện tích này, ta chia thành hai phần: 1. Diện tích tam giác ở bên trái (từ x = -2 đến x = 0) 2. Diện tích tam giác ở bên phải (từ x = 0 đến x = 2) Diện tích tam giác ở bên trái: $$ Diện tích tam giác ở bên phải: $$ Tổng diện tích: $$ Do đó: $$ c) $$ Biểu thức $$ là phương trình của một đường thẳng. Tích phân này đại diện cho diện tích giữa đường thẳng này và trục Ox từ x = 0 đến x = 3. Diện tích này là diện tích của một hình thang: $$ Do đó: $$ d) $$ Biểu thức $$ là phương trình của nửa trên của đường tròn tâm O(0,0) và bán kính R = 4. Tích phân này đại diện cho diện tích của nửa trên của đường tròn này từ x = 1 đến x = 4. Diện tích của toàn bộ đường tròn là: $$ Diện tích của nửa trên của đường tròn là: $$ Diện tích của nửa trên của đường tròn từ x = 1 đến x = 4 là: $$ Do đó: $$ Đáp số: $$ $$ $$ $$ Câu 3. Để tính giá trị của $$, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân. Ta biết rằng đạo hàm của $$ là $$. Bước 1: Tính tích phân của $$. Ta có: $$ Tích phân của $$ từ 1 đến 4 là: $$ Bước 2: Tính từng phần tích phân. Tích phân của $$: $$ Tích phân của $$: $$ Do đó: $$ Bước 3: Đánh giá tại các giới hạn. Tại $$: $$ Tại $$: $$ Bước 4: Tính hiệu giữa hai giá trị này. $$ Vậy giá trị của $$ là: $$ Đáp số: $$ Câu 4. Để tính $$, ta sử dụng công thức liên quan đến nguyên hàm và tích phân. Theo định lý Newton-Leibniz, ta có: $$ Biết rằng: $$ và $$ Thay vào công thức trên, ta có: $$ Giải phương trình này để tìm $$: $$ $$ Vậy, giá trị của $$ là 14. Đáp số: $$. Câu 5. Để tính $$, ta sẽ sử dụng thông tin đã cho là $$. Bước 1: Ta viết lại biểu thức tích phân đã cho: $$ Bước 2: Ta tách tích phân thành hai phần: $$ Bước 3: Tính tích phân của hằng số 1 từ 0 đến 1: $$ Bước 4: Thay kết quả này vào phương trình: $$ Bước 5: Giải phương trình để tìm $$: $$ Bước 6: Chia cả hai vế cho 2 để tìm $$: $$ Vậy, $$.