Giúp tớ với áhbd Câu 4. Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay,ln tại tại một địa điểm.,Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay,,đến vị trí điểm A cách mặt đất 12m, cách điểm,xuất phát 7m về phía nam và 3m về phía đông.,Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm B cách mặt đất,10m, cách điểm xuất phát 5m về phía bắc và 2m,về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O,đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt,phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (coi như phẳng) có,trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía,đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị,đo mỗi trục là mét). Khi đó: $B(-5;-2;10)$ $HB(-12;-5;-2).$,1) a) Tọa độ của điểm $A(7;3;12).$,b) Phương trình đường thẳng đi qua vị trí của hai chiếc flycam tại A và B là: $\left\{\begin{array}lx=7+12t\y=3+5t.\z=12+2t\end{array} ight.$,c) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua $M(2;3;1).$,d) Trên mặt đất người ta đặt một thiết bị phá sóng flycam sao cho có thể phá sóng hai chiếc flycam tại hai,vị trí A, B cùng một lúc. Tổng khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị đó đến hai chiếc flycam tại hai vị trí A và B,(làm tròn đến hàng phần trăm) bằng 25,55(m)). 25,57

Question

Giúp tớ với áhbd Câu 4. Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay,ln tại tại một địa điểm.,Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/feea2f5491844886b249a22c45da23da.jpg />,đến vị trí điểm A cách mặt đất 12m, cách điểm,xuất phát 7m về phía nam và 3m về phía đông.,Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm B cách mặt đất,10m, cách điểm xuất phát 5m về phía bắc và 2m,về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O,đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt,phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (coi như phẳng) có,trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía,đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị,đo mỗi trục là mét). Khi đó: $B(-5;-2;10)$ $HB(-12;-5;-2).$,1) a) Tọa độ của điểm $A(7;3;12).$,b) Phương trình đường thẳng đi qua vị trí của hai chiếc flycam tại A và B là: $\left\{\begin{array}lx=7+12t\y=3+5t.\z=12+2t\end{array}ight.$,c) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua $M(2;3;1).$,d) Trên mặt đất người ta đặt một thiết bị phá sóng flycam sao cho có thể phá sóng hai chiếc flycam tại hai,vị trí A, B cùng một lúc. Tổng khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị đó đến hai chiếc flycam tại hai vị trí A và B,(làm tròn đến hàng phần trăm) bằng 25,55(m)). 25,57

Accepted Answer

{"userId":5331208,"userName":"Nguyen Nhu"}

a) Tọa độ của điểm A là $A(7; 3; 12)$ và của điểm B là $B(-5; -2; 10)$

b) Phương trình đường thẳng đi qua vị trí của hai chiếc flycam tại A và B có dạng:

$\begin{cases}

x = 7 + t(-5-7)\

y = 3 + t(-2-3)\

z = 12 + t(10-12)

\end{cases}$

$\Leftrightarrow$

$\begin{cases}

x = 7 - 12t\

y = 3 - 5t\

z = 12 - 2t

\end{cases}$

c) Gọi $(P)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Trung điểm I của đoạn AB có tọa độ: $I(\frac{7-5}{2}; \frac{3-2}{2}; \frac{12+10}{2})$ hay $I(1; \frac{1}{2}; 11)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{AB} = (-12; -5; -2)$

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:

$-12(x-1) -5(y-\frac{1}{2}) -2(z-11) = 0$

$\Leftrightarrow$ $-12x -5y -2z + 12 + \frac{5}{2} + 22 = 0$

$\Leftrightarrow$ $24x + 10y + 4z -73 = 0$

Thay tọa độ điểm M(2; 3; 1) vào phương trình mặt phẳng (P):

$24*2 + 10*3 + 4*1 - 73 = 48 + 30 + 4 - 73 = 9 eq 0$

Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB không đi qua M(2; 3; 1).

d) Gọi C(x; y; 0) là vị trí đặt thiết bị phá sóng flycam trên mặt đất.

Khoảng cách từ C đến A là: $CA = \sqrt{(7-x)^2 + (3-y)^2 + 12^2}$

Khoảng cách từ C đến B là: $CB = \sqrt{(-5-x)^2 + (-2-y)^2 + 10^2}$

Theo đề bài, thiết bị phá sóng phải được đặt sao cho CA + CB ngắn nhất.

Ta cần tìm điểm C sao cho CA + CB đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oxy). Khi đó, A'(7; 3; -12).

Ta có: CA = CA'

Vậy CA + CB = CA' + CB $\geq$ A'B

Dấu "=" xảy ra khi C, A', B thẳng hàng. Tức là C là giao điểm của đường thẳng A'B và mặt phẳng (Oxy).

Đường thẳng A'B có phương trình tham số:

$\begin{cases}

x = 7 + t(-5-7) = 7 -12t\

y = 3 + t(-2-3) = 3 - 5t\

z = -12 + t(10+12) = -12 + 22t

\end{cases}$

Vì C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên z = 0, suy ra -12 + 22t = 0 $\Rightarrow$ t = $\frac{6}{11}$.

Suy ra tọa độ điểm C là:

$x = 7 - 12(\frac{6}{11}) = 7 - \frac{72}{11} = \frac{5}{11}$

$y = 3 - 5(\frac{6}{11}) = 3 - \frac{30}{11} = \frac{3}{11}$

Vậy C($\frac{5}{11}; \frac{3}{11}; 0$)

$CA = \sqrt{(7-\frac{5}{11})^2 + (3-\frac{3}{11})^2 + 12^2} = \sqrt{(\frac{72}{11})^2 + (\frac{30}{11})^2 + 144} = \sqrt{\frac{5184+900+17424}{121}} = \sqrt{\frac{23508}{121}} = \frac{\sqrt{23508}}{11} \approx 13.93$

$CB = \sqrt{(-5-\frac{5}{11})^2 + (-2-\frac{3}{11})^2 + 10^2} = \sqrt{(\frac{-60}{11})^2 + (\frac{-25}{11})^2 + 100} = \sqrt{\frac{3600+625+12100}{121}} = \sqrt{\frac{16325}{121}} = \frac{\sqrt{16325}}{11} \approx 11.64$

Vậy tổng khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị đó đến hai chiếc flycam tại hai vị trí A và B là:

CA + CB = $\frac{\sqrt{23508}}{11} + \frac{\sqrt{16325}}{11} \approx 13.93 + 11.64 = 25.57$ m.