Giúp tớ với áhbd

Nguyen Nhu

a) Tọa độ của điểm A là $A(7; 3; 12)$ và của điểm B là $B(-5; -2; 10)$

b) Phương trình đường thẳng đi qua vị trí của hai chiếc flycam tại A và B có dạng:

$\begin{cases}

x = 7 + t(-5-7)\\

y = 3 + t(-2-3)\\

z = 12 + t(10-12)

\end{cases}$

$\Leftrightarrow$

$\begin{cases}

x = 7 - 12t\\

y = 3 - 5t\\

z = 12 - 2t

\end{cases}$

c) Gọi $(P)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Trung điểm I của đoạn AB có tọa độ: $I(\frac{7-5}{2}; \frac{3-2}{2}; \frac{12+10}{2})$ hay $I(1; \frac{1}{2}; 11)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{AB} = (-12; -5; -2)$

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:

$-12(x-1) -5(y-\frac{1}{2}) -2(z-11) = 0$

$\Leftrightarrow$ $-12x -5y -2z + 12 + \frac{5}{2} + 22 = 0$

$\Leftrightarrow$ $24x + 10y + 4z -73 = 0$

Thay tọa độ điểm M(2; 3; 1) vào phương trình mặt phẳng (P):

$24*2 + 10*3 + 4*1 - 73 = 48 + 30 + 4 - 73 = 9 \neq 0$

Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB không đi qua M(2; 3; 1).

d) Gọi C(x; y; 0) là vị trí đặt thiết bị phá sóng flycam trên mặt đất.

Khoảng cách từ C đến A là: $CA = \sqrt{(7-x)^2 + (3-y)^2 + 12^2}$

Khoảng cách từ C đến B là: $CB = \sqrt{(-5-x)^2 + (-2-y)^2 + 10^2}$

Theo đề bài, thiết bị phá sóng phải được đặt sao cho CA + CB ngắn nhất.

Ta cần tìm điểm C sao cho CA + CB đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oxy). Khi đó, A'(7; 3; -12).

Ta có: CA = CA'

Vậy CA + CB = CA' + CB $\geq$ A'B

Dấu "=" xảy ra khi C, A', B thẳng hàng. Tức là C là giao điểm của đường thẳng A'B và mặt phẳng (Oxy).

Đường thẳng A'B có phương trình tham số:

$\begin{cases}

x = 7 + t(-5-7) = 7 -12t\\

y = 3 + t(-2-3) = 3 - 5t\\

z = -12 + t(10+12) = -12 + 22t

\end{cases}$

Vì C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên z = 0, suy ra -12 + 22t = 0 $\Rightarrow$ t = $\frac{6}{11}$.

Suy ra tọa độ điểm C là:

$x = 7 - 12(\frac{6}{11}) = 7 - \frac{72}{11} = \frac{5}{11}$

$y = 3 - 5(\frac{6}{11}) = 3 - \frac{30}{11} = \frac{3}{11}$

Vậy C($\frac{5}{11}; \frac{3}{11}; 0$)

$CA = \sqrt{(7-\frac{5}{11})^2 + (3-\frac{3}{11})^2 + 12^2} = \sqrt{(\frac{72}{11})^2 + (\frac{30}{11})^2 + 144} = \sqrt{\frac{5184+900+17424}{121}} = \sqrt{\frac{23508}{121}} = \frac{\sqrt{23508}}{11} \approx 13.93$

$CB = \sqrt{(-5-\frac{5}{11})^2 + (-2-\frac{3}{11})^2 + 10^2} = \sqrt{(\frac{-60}{11})^2 + (\frac{-25}{11})^2 + 100} = \sqrt{\frac{3600+625+12100}{121}} = \sqrt{\frac{16325}{121}} = \frac{\sqrt{16325}}{11} \approx 11.64$

Vậy tổng khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị đó đến hai chiếc flycam tại hai vị trí A và B là:

CA + CB = $\frac{\sqrt{23508}}{11} + \frac{\sqrt{16325}}{11} \approx 13.93 + 11.64 = 25.57$ m.