giải hộ vs a,b là hãi so tự nhen nguycn w vung .....,Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'BCCDD với,$A(0;0;0),~B(a;0;0),~D(0;a;0),~A^\prime(0;0;a).$ Gọi K là trung điểm của DD . Khoảng cách giữa hai,đường thẳng CK và A'D có dạng $\frac{|a|}n,~n\in Z.$ Tìm giá trị của n .,Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm $S(-1;6;2),~A(0;0;6),~B(0;3;0),~C(-2;0;0)$,Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh S của tứ diện S.ABC. Phương trình mặt phẳng đi qua ba,điểm S,B,H có dạng $x+by+cz+d=0.$ Tính giá trị $bc+d.$

Question

giải hộ vs a,b là hãi so tự nhen nguycn w vung  .....,Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'BCCDD với,$A(0;0;0),~B(a;0;0),~D(0;a;0),~A^\prime(0;0;a).$ Gọi K là trung điểm của DD . Khoảng cách giữa hai,đường thẳng CK và A'D có dạng $\frac{|a|}n,~n\in Z.$ Tìm giá trị của n .,Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm $S(-1;6;2),~A(0;0;6),~B(0;3;0),~C(-2;0;0)$,Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh S của tứ diện S.ABC. Phương trình mặt phẳng đi qua ba,điểm S,B,H có dạng $x+by+cz+d=0.$ Tính giá trị $bc+d.$

Accepted Answer

{"userId":5401501,"userName":"Maianh2307"}

Câu 5:

Ta có tọa độ các điểm:

$A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A'(0;0;a)$

$C(a;a;0)$, $D'(0;a;a)$

Vì $K$ là trung điểm của $DD'$ nên $K(0;a;\frac{a}{2})$.

Véc tơ $\overrightarrow{CK} = (-a; 0; \frac{a}{2})$

Véc tơ $\overrightarrow{A'D} = (0; a; -a)$

Ta có tích có hướng của $\overrightarrow{CK}$ và $\overrightarrow{A'D}$:

$[\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{A'D}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ -a & 0 & \frac{a}{2} \ 0 & a & -a \end{vmatrix} = (-\frac{a^2}{2})\vec{i} - (a^2)\vec{j} - (a^2)\vec{k} = (-\frac{a^2}{2}; -a^2; -a^2)$

Đường thẳng $CK$ đi qua điểm $C(a;a;0)$, đường thẳng $A'D$ đi qua điểm $A'(0;0;a)$.

Véc tơ $\overrightarrow{CA'} = (-a; -a; a)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $CK$ và $A'D$ là:

$d(CK, A'D) = \frac{|[\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{A'D}] \cdot \overrightarrow{CA'}|}{|[\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{A'D}]|}$

$= \frac{|(-\frac{a^2}{2})(-a) + (-a^2)(-a) + (-a^2)(a)|}{\sqrt{(-\frac{a^2}{2})^2 + (-a^2)^2 + (-a^2)^2}} = \frac{|\frac{a^3}{2} + a^3 - a^3|}{\sqrt{\frac{a^4}{4} + a^4 + a^4}} = \frac{|\frac{a^3}{2}|}{\sqrt{\frac{9a^4}{4}}} = \frac{\frac{|a^3|}{2}}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{|a|}{3}$

Theo đề bài, khoảng cách giữa hai đường thẳng là $\frac{|a|}{n}$, suy ra $n = 3$.

Câu 6:

Cho $S(-1; 6; 2)$, $A(0; 3; 6)$, $B(0; 3; 0)$, $C(-2; 0; 0)$.

Ta có $\overrightarrow{SA} = (1; -3; 4)$, $\overrightarrow{SB} = (1; -3; -2)$, $\overrightarrow{SC} = (-1; -6; -2)$.

$[\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{SB}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 1 & -3 & 4 \ 1 & -3 & -2 \end{vmatrix} = (18)\vec{i} + (6)\vec{j} + (0)\vec{k} = (18; 6; 0)$

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ là $\vec{n_1} = (3; 1; 0)$

Phương trình mặt phẳng $(SAB)$ là $3(x+1) + (y-6) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0$.

$[\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{SC}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 1 & -3 & -2 \ -1 & -6 & -2 \end{vmatrix} = (6-12)\vec{i} - (-2-2)\vec{j} + (-6-3)\vec{k} = (-6)\vec{i} + (4)\vec{j} + (-9)\vec{k} = (-6; 4; -9)$

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$ là $\vec{n_2} = (-6; 4; -9)$

Phương trình mặt phẳng $(SBC)$ là $-6(x+1) + 4(y-6) - 9(z-2) = 0 \Leftrightarrow -6x - 6 + 4y - 24 - 9z + 18 = 0 \Leftrightarrow -6x + 4y - 9z - 12 = 0$.

$[\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{SC}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 1 & -3 & 4 \ -1 & -6 & -2 \end{vmatrix} = (6+24)\vec{i} - (-2+4)\vec{j} + (-6-3)\vec{k} = (30)\vec{i} - (2)\vec{j} + (-9)\vec{k} = (30; -2; -9)$

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ là $\vec{n_3} = (30; -2; -9)$

Phương trình mặt phẳng $(SAC)$ là $30(x+1) - 2(y-6) - 9(z-2) = 0 \Leftrightarrow 30x + 30 - 2y + 12 - 9z + 18 = 0 \Leftrightarrow 30x - 2y - 9z + 60 = 0$.

Tính thể tích tứ diện $SABC$:

$V = \frac{1}{6} |[\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{SB}] \cdot \overrightarrow{SC}| = \frac{1}{6} |(18; 6; 0) \cdot (-1; -6; -2)| = \frac{1}{6} |(-18 - 36 + 0)| = \frac{1}{6} |-54| = 9$

Gọi $H(x; y; z)$ là chân đường cao hạ từ $S$ của tứ diện $SABC$.

$SH \perp (ABC)$.

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$: $a(x-0) + b(y-3) + c(z-6) = 0$

$\overrightarrow{AB} = (0; 0; -6)$, $\overrightarrow{AC} = (-2; -3; -6)$, $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 0 & 0 & -6 \ -2 & -3 & -6 \end{vmatrix} = (-18)\vec{i} + (12)\vec{j} + (0)\vec{k} = (-18; 12; 0)$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $-18x + 12(y-3) = 0 \Leftrightarrow -18x + 12y - 36 = 0 \Leftrightarrow -3x + 2y - 6 = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y + 6 = 0$.

$H(x; y; z)$ thỏa mãn:

$\begin{cases} 3x - 2y + 6 = 0 \ \overrightarrow{SH} = (x+1; y-6; z-2) // (3; -2; 0) \end{cases}$

$\frac{x+1}{3} = \frac{y-6}{-2} = \frac{z-2}{0} = t$

$\begin{cases} x = 3t - 1 \ y = -2t + 6 \ z = 2 \end{cases}$

$3(3t - 1) - 2(-2t + 6) + 6 = 0 \Leftrightarrow 9t - 3 + 4t - 12 + 6 = 0 \Leftrightarrow 13t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{9}{13}$.

$x = 3(\frac{9}{13}) - 1 = \frac{27}{13} - 1 = \frac{14}{13}$

$y = -2(\frac{9}{13}) + 6 = -\frac{18}{13} + 6 = \frac{-18 + 78}{13} = \frac{60}{13}$

$H(\frac{14}{13}; \frac{60}{13}; 2)$

Mặt phẳng đi qua $S(-1; 6; 2)$ và $H(\frac{14}{13}; \frac{60}{13}; 2)$ có phương trình $x + by + cz + d = 0$.

Do z = 2 nên $SH$ nằm trên mặt phẳng z = 2 => H phải là chân đường cao hạ từ S đến mp ABC.

$\begin{cases} -1 + 6b + 2c + d = 0 \ \frac{14}{13} + \frac{60}{13}b + 2c + d = 0 \end{cases}$

Trừ hai vế, ta có: $-\frac{27}{13} + \frac{18}{13}b = 0 \Rightarrow 18b = 27 \Rightarrow b = \frac{3}{2}$.

$-1 + 6(\frac{3}{2}) + 2c + d = 0 \Rightarrow -1 + 9 + 2c + d = 0 \Rightarrow 2c + d + 8 = 0 \Rightarrow d = -2c - 8$.

Vậy phương trình mặt phẳng là: $x + \frac{3}{2}y + cz - 2c - 8 = 0 \Rightarrow 2x + 3y + 2cz - 4c - 16 = 0$

$x + by + cz + d = 0$

Ta có $b = 3/2$, $d = -16$.

Giá trị $bc + d = \frac{3}{2}(2) - 8 = 3 - 8 = -5$