giải hộ vs

Câu 5. Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CK\) và \(A'D\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ các điểm liên quan: - \(A(0;0;0)\) - \(B(a;0;0)\) - \(D(0;a;0)\) - \(A'(0;0;a)\) - \(D'(0;a;a)\) Vì \(K\) là trung điểm của \(DD'\), nên tọa độ của \(K\) là: \[ K = \left(0, a, \frac{a}{2}\right) \] 2. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng: - Đường thẳng \(CK\) đi qua điểm \(C(a,a,0)\) và \(K(0,a,\frac{a}{2})\): \[ \overrightarrow{CK} = K - C = (0 - a, a - a, \frac{a}{2} - 0) = (-a, 0, \frac{a}{2}) \] - Đường thẳng \(A'D\) đi qua điểm \(A'(0,0,a)\) và \(D(0,a,0)\): \[ \overrightarrow{A'D} = D - A' = (0 - 0, a - 0, 0 - a) = (0, a, -a) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa \(CK\) và vuông góc với \(A'D\): - Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng chứa \(CK\) và vuông góc với \(A'D\) là tích vector của \(\overrightarrow{CK}\) và \(\overrightarrow{A'D}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{CK} \times \overrightarrow{A'D} \] Ta tính: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & 0 & \frac{a}{2} \\ 0 & a & -a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-a) - \frac{a}{2} \cdot a) - \mathbf{j}(-a \cdot (-a) - \frac{a}{2} \cdot 0) + \mathbf{k}(-a \cdot a - 0 \cdot 0) \] \[ = \mathbf{i}(-\frac{a^2}{2}) - \mathbf{j}(a^2) + \mathbf{k}(-a^2) \] \[ = \left(-\frac{a^2}{2}, -a^2, -a^2\right) \] 4. Tìm khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(A'D\): - Chọn điểm \(M\) trên đường thẳng \(A'D\), ví dụ \(M = A'\): \[ M = (0, 0, a) \] - Vectơ \(\overrightarrow{CM}\): \[ \overrightarrow{CM} = M - C = (0 - a, 0 - a, a - 0) = (-a, -a, a) \] - Khoảng cách \(d\) từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(A'D\) là: \[ d = \frac{|\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} \] Tính \(\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{n}\): \[ \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{n} = (-a, -a, a) \cdot \left(-\frac{a^2}{2}, -a^2, -a^2\right) = (-a) \left(-\frac{a^2}{2}\right) + (-a)(-a^2) + a(-a^2) \] \[ = \frac{a^3}{2} + a^3 - a^3 = \frac{a^3}{2} \] Tính \(|\overrightarrow{n}|\): \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{\left(-\frac{a^2}{2}\right)^2 + (-a^2)^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{\frac{a^4}{4} + a^4 + a^4} = \sqrt{\frac{9a^4}{4}} = \frac{3a^2}{2} \] Vậy khoảng cách \(d\) là: \[ d = \frac{\left|\frac{a^3}{2}\right|}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{\frac{a^3}{2}}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a^3}{3a^2} = \frac{a}{3} \] Do đó, giá trị của \(n\) là: \[ n = 3 \] Đáp số: \(n = 3\). Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm H, chân đường cao hạ từ đỉnh S của tứ diện S.ABC. 2. Xác định phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H. 3. Tính giá trị của \( bc + d \). Bước 1: Tìm tọa độ của điểm H Điểm H là chân đường cao hạ từ đỉnh S của tứ diện S.ABC, tức là H nằm trên mặt phẳng ABC và SH vuông góc với mặt phẳng ABC. Phương trình mặt phẳng ABC: - Vector pháp tuyến của mặt phẳng ABC là \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\). \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 0, 3 - 0, 0 - 6) = (0, 3, -6) \] \[ \overrightarrow{AC} = (-2 - 0, 0 - 0, 0 - 6) = (-2, 0, -6) \] Tính tích vector: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & -6 \\ -2 & 0 & -6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot -6 - (-6) \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot -6 - (-6) \cdot -2) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 3 \cdot -2) \] \[ = \mathbf{i}(-18) - \mathbf{j}(12) + \mathbf{k}(6) = (-18, -12, 6) \] Phương trình mặt phẳng ABC: \[ -18(x - 0) - 12(y - 0) + 6(z - 0) = 0 \implies -18x - 12y + 6z = 0 \implies 3x + 2y - z = 0 \] Điểm H nằm trên mặt phẳng ABC và SH vuông góc với mặt phẳng ABC, tức là \(\overrightarrow{SH}\) song song với \(\vec{n}\): \[ \overrightarrow{SH} = k \cdot \vec{n} = k(-18, -12, 6) \] Tọa độ của H là: \[ H = S + \overrightarrow{SH} = (-1, 6, 2) + k(-18, -12, 6) = (-1 - 18k, 6 - 12k, 2 + 6k) \] H nằm trên mặt phẳng ABC: \[ 3(-1 - 18k) + 2(6 - 12k) - (2 + 6k) = 0 \] \[ -3 - 54k + 12 - 24k - 2 - 6k = 0 \] \[ -84k + 7 = 0 \implies k = \frac{7}{84} = \frac{1}{12} \] Tọa độ của H: \[ H = (-1 - 18 \cdot \frac{1}{12}, 6 - 12 \cdot \frac{1}{12}, 2 + 6 \cdot \frac{1}{12}) = (-1 - \frac{3}{2}, 6 - 1, 2 + \frac{1}{2}) = (-\frac{5}{2}, 5, \frac{5}{2}) \] Bước 2: Xác định phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H có dạng: \[ x + by + cz + d = 0 \] Thay tọa độ của S, B, H vào phương trình: \[ -1 + 6b + 2c + d = 0 \quad \text{(1)} \] \[ 0 + 3b + 0 + d = 0 \quad \text{(2)} \] \[ -\frac{5}{2} + 5b + \frac{5}{2}c + d = 0 \quad \text{(3)} \] Từ (2): \[ d = -3b \] Thay \(d = -3b\) vào (1): \[ -1 + 6b + 2c - 3b = 0 \implies -1 + 3b + 2c = 0 \implies 3b + 2c = 1 \quad \text{(4)} \] Thay \(d = -3b\) vào (3): \[ -\frac{5}{2} + 5b + \frac{5}{2}c - 3b = 0 \implies -\frac{5}{2} + 2b + \frac{5}{2}c = 0 \implies 2b + \frac{5}{2}c = \frac{5}{2} \implies 4b + 5c = 5 \quad \text{(5)} \] Giải hệ phương trình (4) và (5): \[ 3b + 2c = 1 \quad \text{(4)} \] \[ 4b + 5c = 5 \quad \text{(5)} \] Nhân (4) với 5 và (5) với 2: \[ 15b + 10c = 5 \quad \text{(6)} \] \[ 8b + 10c = 10 \quad \text{(7)} \] Lấy (6) trừ (7): \[ 7b = -5 \implies b = -\frac{5}{7} \] Thay \(b = -\frac{5}{7}\) vào (4): \[ 3 \left(-\frac{5}{7}\right) + 2c = 1 \implies -\frac{15}{7} + 2c = 1 \implies 2c = 1 + \frac{15}{7} = \frac{22}{7} \implies c = \frac{11}{7} \] Tính \(d\): \[ d = -3b = -3 \left(-\frac{5}{7}\right) = \frac{15}{7} \] Bước 3: Tính giá trị của \( bc + d \) \[ bc + d = \left(-\frac{5}{7}\right) \left(\frac{11}{7}\right) + \frac{15}{7} = -\frac{55}{49} + \frac{15}{7} = -\frac{55}{49} + \frac{105}{49} = \frac{50}{49} \] Đáp số: \( bc + d = \frac{50}{49} \).