Chữa giúp e ạ

Câu 1. Để tìm tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = a \) sao cho \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) hoặc \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \). - Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số \( f(x) \) có hai điểm bất thường tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Tại những điểm này, hàm số tiến đến vô cùng (cả dương và âm), do đó chúng là tiệm cận đứng. - Vậy, hàm số có 2 tiệm cận đứng: \( x = -1 \) và \( x = 1 \). 2. Xác định tiệm cận xiên: - Tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = ax + b \) sao cho \( \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \). - Từ đồ thị, ta thấy rằng khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \), đồ thị hàm số \( f(x) \) tiến dần về đường thẳng \( y = x \). Do đó, đường thẳng \( y = x \) là tiệm cận xiên của hàm số. - Vậy, hàm số có 1 tiệm cận xiên: \( y = x \). 3. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: - Số tiệm cận đứng: 2 - Số tiệm cận xiên: 1 Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là: \[ 2 + 1 = 3 \] Vậy đáp án đúng là: D. 3. Câu 2. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Trên khoảng $(-\infty; -2)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(-2; 0)$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(0; 2)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(2; +\infty)$, hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-2; 0)$ và $(2; +\infty)$. Trong các đáp án được đưa ra, chỉ có khoảng $(-2; 0)$ nằm trong các khoảng mà hàm số nghịch biến. Vậy đáp án đúng là: D. $(-2; 0)$. Câu 3. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ trên đoạn $[0; +\infty)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 1) = 3x^2 - 4x$ Bước 2: Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. $f'(x) = 0$ $3x^2 - 4x = 0$ $x(3x - 4) = 0$ $x = 0$ hoặc $x = \frac{4}{3}$ Bước 3: Kiểm tra các điểm cực trị và các giới hạn của đoạn $[0; +\infty)$. - Tại $x = 0$: $f(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 1 = 1$ - Tại $x = \frac{4}{3}$: $f\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^3 - 2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 + 1 = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} + 1 = \frac{64}{27} - \frac{96}{27} + \frac{27}{27} = \frac{64 - 96 + 27}{27} = \frac{-5}{27}$ Bước 4: So sánh các giá trị tại các điểm cực trị và các giới hạn của đoạn. - $f(0) = 1$ - $f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{-5}{27}$ Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là $\frac{-5}{27}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ trên đoạn $[0; +\infty)$ là $\frac{-5}{27}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{-5}{27}$. Câu 4. Để xác định số lượng đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = f(x) \), chúng ta cần kiểm tra các loại tiệm cận có thể xuất hiện: tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xi-phông. 1. Tiệm cận đứng: Đường thẳng \( x = a \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) nếu \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) hoặc \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \). Từ đồ thị, ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến \( -1 \) từ bên phải (\( x \to -1^+ \)) và từ bên trái (\( x \to -1^- \)), giá trị của \( f(x) \) tiến đến vô cùng dương hoặc âm. Do đó, \( x = -1 \) là một tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: Đường thẳng \( y = b \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) nếu \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = b \) hoặc \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = b \). Từ đồ thị, ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến dương vô cùng (\( x \to +\infty \)) và âm vô cùng (\( x \to -\infty \)), giá trị của \( f(x) \) tiến đến 0. Do đó, \( y = 0 \) là một tiệm cận ngang. 3. Tiệm cận xi-phông: Đường thẳng \( y = ax + b \) là tiệm cận xi-phông của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) nếu \( \lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \) hoặc \( \lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \). Từ đồ thị, ta không thấy dấu hiệu của bất kỳ đường thẳng xi-phông nào khác ngoài hai đường tiệm cận đứng và ngang đã xác định. Tóm lại, đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận: 1 đường tiệm cận đứng \( x = -1 \) và 1 đường tiệm cận ngang \( y = 0 \). Đáp án đúng là: A. 2. Câu 5. Để tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = -x^3 + 3x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số: Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = -3x^2 + 3 \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ -3x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] 2. Xác định tọa độ của các điểm cực trị: - Khi \( x = 1 \): \[ y = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] Vậy điểm cực tiểu là \( (1, 3) \). - Khi \( x = -1 \): \[ y = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] Vậy điểm cực đại là \( (-1, -1) \). 3. Tìm tâm đối xứng: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) nằm giữa hai điểm cực trị. Do đó, ta tính trung điểm của hai điểm cực trị \( (1, 3) \) và \( (-1, -1) \): \[ \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{3 + (-1)}{2} \right) = (0, 1) \] Vậy tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \( (0, 1) \). Đáp án đúng là: D. \( (0, 1) \). Câu 6. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm \( f'(x) \) lớn hơn 0. Ta có đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = (1 - x)(3 + x) \] Bước 1: Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ (1 - x)(3 + x) = 0 \] \[ 1 - x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3 + x = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng được xác định bởi các điểm \( x = -3 \) và \( x = 1 \): - Khi \( x < -3 \): Chọn \( x = -4 \) \[ f'(-4) = (1 - (-4))(3 + (-4)) = (1 + 4)(3 - 4) = 5 \cdot (-1) = -5 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -3) \). - Khi \( -3 < x < 1 \): Chọn \( x = 0 \) \[ f'(0) = (1 - 0)(3 + 0) = 1 \cdot 3 = 3 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-3, 1) \). - Khi \( x > 1 \): Chọn \( x = 2 \) \[ f'(2) = (1 - 2)(3 + 2) = (-1) \cdot 5 = -5 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (1, +\infty) \). Bước 3: Kết luận khoảng đồng biến của hàm số: Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng mà đạo hàm \( f'(x) > 0 \). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-3, 1) \). Vậy đáp án đúng là: A. \( (-3, 1) \). Câu 7. Để giải quyết các bài toán trong mã đề 018, chúng ta sẽ tuân theo các quy tắc đã nêu và áp dụng kiến thức phù hợp với trình độ lớp 12. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cho từng bước giải. Bài 1: Tính giá trị biểu thức Câu hỏi: Tính giá trị của biểu thức \( A = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + ...}}} \) Giải: Gọi \( A = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + ...}}} \). Ta thấy rằng biểu thức này lặp lại vô tận, do đó ta có thể viết lại như sau: \[ A = \sqrt{2 + A} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ A^2 = 2 + A \] Rearrange the equation to form a standard quadratic equation: \[ A^2 - A - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ A = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ A = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ A = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Vì \( A \) là giá trị của một biểu thức căn bậc hai, nên \( A \) phải là số không âm. Do đó, ta loại nghiệm âm: \[ A = 2 \] Đáp số: \( A = 2 \) Bài 2: Giải phương trình Câu hỏi: Giải phương trình \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \) Giải: Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, \( a = 2 \), \( b = -5 \), và \( c = 2 \). Thay vào công thức: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \] Đáp số: \( x_1 = 2 \) và \( x_2 = \frac{1}{2} \) Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) Giải: Hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một hàm bậc hai có hệ số \( a = -1 \) (nhỏ hơn 0), do đó đồ thị của nó là một parabol mở xuống. Giá trị lớn nhất của hàm số xảy ra tại đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Trong đó, \( a = -1 \) và \( b = 4 \). Thay vào công thức: \[ x = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào hàm số để tìm giá trị lớn nhất: \[ f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \] Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số là 9. Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Câu hỏi: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 \) và \( y = 2x \) Giải: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 \) và \( y = 2x \), ta cần tìm giao điểm của hai đường này. Giao điểm: \[ x^2 = 2x \] \[ x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] Ta có hai giao điểm: \[ x = 0 \] và \( x = 2 \) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường này là: \[ S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx \] Tính tích phân: \[ S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \] Đáp số: Diện tích hình phẳng là \( \frac{4}{3} \). Kết luận Đáp số cho các bài toán trong mã đề 018 đã được giải chi tiết và chính xác theo các quy tắc đã nêu.