giải giup emm

Câu 2: a) Đúng vì theo bảng biến thiên, hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=-1.$ b) Sai vì theo bảng biến thiên, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[1;+\infty)$ là $-2.$ c) Đúng vì theo bảng biến thiên, phương trình $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt. d) Đúng vì $h(x)=f(2-3x)$ là sự kết hợp giữa phép tịnh tiến và phép phản xạ qua trục $Oy,$ do đó hàm số $h(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;\frac14).$ Câu 2: a) Đúng vì $y'=0$ tại hai điểm và thay đổi dấu qua hai điểm đó. b) Sai vì $y'>0$ trên khoảng $(-\infty;1)$ c) Đúng vì $y'>0$ trên khoảng $(2;3)$ nên hàm số $y=f(x)$ tăng trên $[2;3]$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[2;3]$ là $f(3)$. d) Đúng vì $y'< 0$ trên khoảng $(0;1)$ và $y'>0$ trên khoảng $(1;2)$ nên hàm số $y=f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $[0;2]$ là $f(1)$. Mà hàm số $y=e^x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb R$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=e^{f(x)}$ trên $[0;2]$ là $e^{f(1)}$. Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x - 2}{x + 1} \) Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó, \( u = x^2 + 3x - 2 \) và \( v = x + 1 \). Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = 2x + 3 \] \[ v' = 1 \] Áp dụng vào công thức: \[ y' = \frac{(2x + 3)(x + 1) - (x^2 + 3x - 2)(1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x + 3x + 3 - x^2 - 3x + 2}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x + 5}{(x + 1)^2} \] Vậy, đạo hàm của hàm số đúng là: \[ y' = \frac{x^2 + 2x + 5}{(x + 1)^2} \] b) Đồ thị (C) không có tiệm cận ngang. Tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x - 2}{x + 1} \) được xác định bằng giới hạn: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3x - 2}{x + 1} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 3 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \pm\infty \), các phân số \( \frac{2}{x} \) và \( \frac{1}{x} \) tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 3}{1} = \pm\infty \] Vậy, hàm số không có tiệm cận ngang. c) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là \( y = x + 2 \). Phương trình tiệm cận xiên được tìm bằng cách chia đa thức \( x^2 + 3x - 2 \) cho \( x + 1 \): \[ x^2 + 3x - 2 = (x + 1)(x + 2) - 4 \] Do đó: \[ y = x + 2 - \frac{4}{x + 1} \] Khi \( x \to \pm\infty \), \( \frac{4}{x + 1} \to 0 \), vậy tiệm cận xiên là: \[ y = x + 2 \] d) Gọi A là tâm đối xứng của (C). Độ dài \( OA = 2 \). Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x - 2}{x + 1} \), ta cần tìm điểm \( (a, b) \) sao cho: \[ f(a + h) + f(a - h) = 2b \] Chúng ta đã biết rằng tiệm cận xiên là \( y = x + 2 \), do đó tâm đối xứng nằm trên đường thẳng này. Ta thử với \( a = -1 \) (điểm bất kỳ trên tiệm cận xiên): \[ f(-1 + h) + f(-1 - h) = 2b \] Thay vào hàm số: \[ f(-1 + h) = \frac{(-1 + h)^2 + 3(-1 + h) - 2}{-1 + h + 1} = \frac{h^2 - 2h + 1 - 3 + 3h - 2}{h} = \frac{h^2 + h - 4}{h} = h + 1 - \frac{4}{h} \] \[ f(-1 - h) = \frac{(-1 - h)^2 + 3(-1 - h) - 2}{-1 - h + 1} = \frac{h^2 + 2h + 1 - 3 - 3h - 2}{-h} = \frac{h^2 - h - 4}{-h} = -h - 1 + \frac{4}{h} \] Cộng lại: \[ f(-1 + h) + f(-1 - h) = (h + 1 - \frac{4}{h}) + (-h - 1 + \frac{4}{h}) = 0 \] Vậy tâm đối xứng là \( (-1, 2) \). Độ dài \( OA \) từ gốc tọa độ đến tâm đối xứng: \[ OA = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Như vậy, các lựa chọn đúng là: a) Đạo hàm của hàm số \( y' = \frac{x^2 + 2x + 5}{(x + 1)^2} \) b) Đồ thị (C) không có tiệm cận ngang. c) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là \( y = x + 2 \). d) Gọi A là tâm đối xứng của (C). Độ dài \( OA = \sqrt{5} \).