Hãy giúp tôi nhé

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một. a) Đồ thị (C) có một điểm uốn. Để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số \( y = x^3 + 2x^2 - x - 5 \), chúng ta cần tính đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y' = 3x^2 + 4x - 1 \] \[ y'' = 6x + 4 \] Điểm uốn xảy ra khi đạo hàm bậc hai đổi dấu, tức là \( y'' = 0 \): \[ 6x + 4 = 0 \] \[ x = -\frac{2}{3} \] Vì \( y'' \) đổi dấu từ âm sang dương khi \( x \) tăng qua \( -\frac{2}{3} \), nên đồ thị có một điểm uốn tại \( x = -\frac{2}{3} \). b) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị. Để tìm điểm cực trị của đồ thị hàm số, chúng ta cần giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 + 4x - 1 = 0 \] Phương trình này là một phương trình bậc hai, và số nghiệm của nó là: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28 \] Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, do đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. c) Đồ thị hàm số luôn có giao điểm với Ox. Để kiểm tra xem đồ thị hàm số có giao điểm với trục Ox hay không, chúng ta cần giải phương trình: \[ x^3 + 2x^2 - x - 5 = 0 \] Phương trình này là một phương trình bậc ba, và theo định lý về nghiệm của đa thức bậc ba, phương trình này luôn có ít nhất một nghiệm thực. Do đó, đồ thị hàm số luôn có giao điểm với trục Ox. d) \( \lim_{x \to -\infty} y = -\infty \) và \( \lim_{x \to +\infty} y = +\infty \). Với hàm số \( y = x^3 + 2x^2 - x - 5 \), khi \( x \to -\infty \), \( x^3 \) sẽ chiếm ưu thế và có dấu âm lớn, do đó \( y \to -\infty \). Khi \( x \to +\infty \), \( x^3 \) sẽ chiếm ưu thế và có dấu dương lớn, do đó \( y \to +\infty \). Tóm lại, cả bốn lựa chọn đều đúng. Đáp án là: a) Đồ thị (C) có một điểm uốn. b) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị. c) Đồ thị hàm số luôn có giao điểm với Ox. d) \( \lim_{x \to -\infty} y = -\infty \) và \( \lim_{x \to +\infty} y = +\infty \). Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một. a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;+\infty)$ Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = -3x^2 - 1 \] Ta thấy rằng $f'(x) < 0$ cho mọi $x$, vì $-3x^2 - 1$ luôn luôn nhỏ hơn 0 (vì $-3x^2$ luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 và trừ đi 1 nữa). Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. Vậy lựa chọn a) là sai. b) Hàm số có 2 điểm cực trị Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ -3x^2 - 1 = 0 \] \[ -3x^2 = 1 \] \[ x^2 = -\frac{1}{3} \] Phương trình này vô nghiệm vì $x^2$ không thể nhỏ hơn 0. Do đó, hàm số không có điểm cực trị. Vậy lựa chọn b) là sai. c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;1]$ bằng 2 Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn $[0;1]$: \[ f(0) = -0^3 - 0 + 2 = 2 \] \[ f(1) = -1^3 - 1 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0 \] Vì hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;1]$ sẽ là giá trị tại điểm biên đầu tiên, tức là $f(0) = 2$. Vậy lựa chọn c) là đúng. d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(0;2)$ Để kiểm tra tâm đối xứng, ta cần kiểm tra tính chất của hàm số. Ta thấy rằng: \[ f(-x) = -(-x)^3 - (-x) + 2 = x^3 + x + 2 \] Hàm số $f(x) = -x^3 - x + 2$ không phải là hàm lẻ hay hàm chẵn, do đó không có tâm đối xứng đơn giản như vậy. Tuy nhiên, ta có thể kiểm tra trực tiếp điểm $I(0;2)$: \[ f(0) = 2 \] Điểm $(0, 2)$ nằm trên đồ thị hàm số, nhưng không đủ để kết luận đây là tâm đối xứng. Vậy lựa chọn d) là sai. Kết luận: Lựa chọn đúng là c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;1]$ bằng 2. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2,-1);(-1,0).$ Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{-x^2 + x + 1}{x + 1}$: \[ y' = \frac{(-2x + 1)(x + 1) - (-x^2 + x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + x + 1 + x^2 - x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{-x^2 - 2x}{(x + 1)^2} = \frac{-x(x + 2)}{(x + 1)^2}. \] Đạo hàm $y'$ sẽ dương khi $\frac{-x(x + 2)}{(x + 1)^2} > 0$. Ta xét dấu của tử số $-x(x + 2)$: - $-x(x + 2) > 0$ khi $x \in (-2, 0)$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(-2, -1)$ và $(-1, 0)$. Phát biểu a đúng. b) Hàm số có hai điểm cực trị. Điểm cực trị xảy ra khi đạo hàm $y'$ thay đổi dấu. Ta đã tìm được $y' = \frac{-x(x + 2)}{(x + 1)^2}$. Đạo hàm này thay đổi dấu tại $x = 0$ và $x = -2$. Do đó, hàm số có hai điểm cực trị tại $x = 0$ và $x = -2$. Phát biểu b đúng. c) Đồ thị (C) không cắt trục Ox. Để đồ thị không cắt trục Ox, phương trình $\frac{-x^2 + x + 1}{x + 1} = 0$ phải vô nghiệm. Ta giải phương trình: \[ -x^2 + x + 1 = 0. \] Phương trình này có nghiệm thực, do đó đồ thị cắt trục Ox. Phát biểu c sai. d) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên đi qua điểm $A(1, 2)$. Ta tìm tiệm cận xiên của hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số: \[ y = \frac{-x^2 + x + 1}{x + 1} = -x + 2 + \frac{-1}{x + 1}. \] Khi $x \to \infty$, $\frac{-1}{x + 1} \to 0$, nên tiệm cận xiên là $y = -x + 2$. Điểm $A(1, 2)$ nằm trên đường thẳng này, vì $2 = -(1) + 2$. Phát biểu d đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định xem chúng đúng hay sai. a) Đường thẳng \( y = 3 \) là tiệm cận đứng của đồ thị (C). - Tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{3x + 2}{x + 2} \) là giá trị của \( x \) làm mẫu số bằng 0, tức là \( x = -2 \). Do đó, đường thẳng \( y = 3 \) không phải là tiệm cận đứng của đồ thị (C). Phát biểu này sai. b) Điểm \( I(-2;3) \) là giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị (C). - Tiệm cận đứng của hàm số là \( x = -2 \). - Tiệm cận ngang của hàm số là \( y = 3 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( y \to 3 \)). - Điểm giao của các đường tiệm cận là \( (-2, 3) \). Phát biểu này đúng. c) Đồ thị (C) cắt đường thẳng \( y = x + 2 \) tại hai điểm phân biệt. - Để tìm giao điểm của đồ thị \( y = \frac{3x + 2}{x + 2} \) và đường thẳng \( y = x + 2 \), ta giải phương trình: \[ \frac{3x + 2}{x + 2} = x + 2 \] Nhân cả hai vế với \( x + 2 \): \[ 3x + 2 = (x + 2)(x + 2) \] \[ 3x + 2 = x^2 + 4x + 4 \] \[ x^2 + x + 2 = 0 \] Phương trình này có biệt số \( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \), do đó phương trình vô nghiệm. Điều này có nghĩa là đồ thị (C) không cắt đường thẳng \( y = x + 2 \) tại hai điểm phân biệt. Phát biểu này sai. d) Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó. - Ta tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{3x + 2}{x + 2} \): \[ y' = \frac{(3x + 2)'(x + 2) - (3x + 2)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{3(x + 2) - (3x + 2)}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{3x + 6 - 3x - 2}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{4}{(x + 2)^2} \] Vì \( (x + 2)^2 > 0 \) cho mọi \( x \neq -2 \), nên \( y' > 0 \) cho mọi \( x \neq -2 \). Điều này có nghĩa là hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó. Phát biểu này đúng. Kết luận: Đáp án đúng là b) và d). Đáp án: b) và d). Câu 1. Gọi cạnh của các hình vuông là $x$ (điều kiện: $0 < x < 30$). Khi đó chiều dài và chiều rộng của đáy hộp là $60 - 2x$. Chiều cao của hộp là $x$. Thể tích của hộp là: \[ V = x(60 - 2x)^2 \] \[ V = x(3600 - 240x + 4x^2) \] \[ V = 4x^3 - 240x^2 + 3600x \] Để tìm giá trị lớn nhất của $V$, ta tính đạo hàm của $V$ theo $x$: \[ V' = 12x^2 - 480x + 3600 \] Đặt $V' = 0$ để tìm điểm cực đại: \[ 12x^2 - 480x + 3600 = 0 \] \[ x^2 - 40x + 300 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1200}}{2} \] \[ x = \frac{40 \pm \sqrt{400}}{2} \] \[ x = \frac{40 \pm 20}{2} \] \[ x = 30 \text{ hoặc } x = 10 \] Do $0 < x < 30$, ta chọn $x = 10$. Vậy cạnh của các hình vuông là 10 cm. Thể tích của hộp là: \[ V = 10(60 - 2 \times 10)^2 \] \[ V = 10 \times 40^2 \] \[ V = 10 \times 1600 \] \[ V = 16000 \text{ cm}^3 \] Đáp số: Cạnh của các hình vuông là 10 cm, thể tích của hộp là 16000 cm³.