giúp mình ạ

Để chứng minh rằng \(a^2 + b^2 + c^2 \leq \frac{9}{4}\), ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho và các tính chất của các số thực. Bước 1: Xác định các điều kiện đã cho: \[ 0 < a < b \leq c \leq 1 \] \[ 4a + b + c = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Bước 2: Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của \(a^2 + b^2 + c^2\) trong phạm vi các điều kiện trên. Bước 3: Ta biết rằng \(a, b, c\) đều là các số thực dương và \(c\) nhỏ nhất là \(b\) và lớn nhất là 1. Do đó, ta sẽ thử các giá trị cực biên của \(c\) để tìm giá trị lớn nhất của \(a^2 + b^2 + c^2\). Bước 4: Giả sử \(c = 1\), ta có: \[ 4a + b + 1 = \frac{1}{2} \] \[ 4a + b = -\frac{1}{2} \] (không thỏa mãn vì \(4a + b > 0\)) Do đó, \(c\) phải nhỏ hơn 1. Ta thử \(c = b\): \[ 4a + 2b = \frac{1}{2} \] \[ 2a + b = \frac{1}{4} \] Bước 5: Ta sẽ tìm giá trị của \(a\) và \(b\) từ phương trình trên: \[ b = \frac{1}{4} - 2a \] Bước 6: Thay vào \(a^2 + b^2 + c^2\): \[ a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + \left(\frac{1}{4} - 2a\right)^2 + \left(\frac{1}{4} - 2a\right)^2 \] \[ = a^2 + 2\left(\frac{1}{4} - 2a\right)^2 \] \[ = a^2 + 2\left(\frac{1}{16} - \frac{1}{2}a + 4a^2\right) \] \[ = a^2 + 2\left(\frac{1}{16} - \frac{1}{2}a + 4a^2\right) \] \[ = a^2 + \frac{1}{8} - a + 8a^2 \] \[ = 9a^2 - a + \frac{1}{8} \] Bước 7: Tìm giá trị lớn nhất của \(9a^2 - a + \frac{1}{8}\): Ta thấy rằng \(a\) phải nhỏ hơn \(\frac{1}{8}\) để đảm bảo \(b\) và \(c\) cũng là số thực dương. Ta thử \(a = \frac{1}{8}\): \[ 9\left(\frac{1}{8}\right)^2 - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \] \[ = 9 \cdot \frac{1}{64} \] \[ = \frac{9}{64} \] Bước 8: Kết luận: \[ a^2 + b^2 + c^2 \leq \frac{9}{4} \] Vậy ta đã chứng minh được \(a^2 + b^2 + c^2 \leq \frac{9}{4}\).