Cú tuiiiiii

Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một để xác định công thức chính xác của hàm số và các tính chất của nó. Bước 1: Xác định Tiệm Cận Đứng Tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{a^2 + bx + c}{x + n} \) là đường thẳng \( x = -n \). Từ đồ thị, ta thấy tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = -2 \). Do đó, \( n = 2 \). Bước 2: Xác định Cực Đại và Cực Tiểu Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại \( x = -3 \) và cực tiểu tại \( x = -1 \). Điều này giúp chúng ta xác định các điểm cực trị của hàm số. Bước 3: Xác Định Công Thức Của Hàm Số Hàm số có dạng \( y = \frac{a^2 + bx + c}{x + 2} \). Để xác định các hệ số \( a, b, \) và \( c \), ta cần sử dụng các thông tin từ đồ thị. Kiểm Tra Lựa Chọn D: Lựa chọn d) đưa ra công thức \( y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \). Ta kiểm tra xem liệu công thức này có thỏa mãn các điều kiện đã cho hay không: - Tiệm cận đứng: \( x = -2 \) (đúng). - Cực đại tại \( x = -3 \): Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{(2x + 3)(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 3x + 6 - x^2 - 3x - 3}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \] \[ (x + 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = -3 \text{ hoặc } x = -1 \] Như vậy, hàm số đạt cực đại tại \( x = -3 \) và cực tiểu tại \( x = -1 \) (đúng). Do đó, công thức \( y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \) là đúng. Kết Luận Công thức xác định hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \). Đáp án đúng là: d) \( y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \). Câu 1. Để tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x)$, ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm $f'(x)$ lớn hơn 0. Bước 1: Xác định các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình $f'(x) = 0$. $f'(x) = (-x - 1)(x^2 - 4) = 0$ Ta có các nghiệm của phương trình này là: - $-x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ - $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ hoặc $x = -2$ Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm $f'(x)$ trên các khoảng giữa các điểm cực trị. - Khi $x < -2$, chọn $x = -3$: $f'(-3) = (-(-3) - 1)((-3)^2 - 4) = (2)(9 - 4) = 10 > 0$. Vậy $f'(x) > 0$ trên khoảng $(-\infty, -2)$. - Khi $-2 < x < -1$, chọn $x = -1.5$: $f'(-1.5) = (-(-1.5) - 1)((-1.5)^2 - 4) = (0.5)(2.25 - 4) = (0.5)(-1.75) < 0$. Vậy $f'(x) < 0$ trên khoảng $(-2, -1)$. - Khi $-1 < x < 2$, chọn $x = 0$: $f'(0) = (-0 - 1)(0^2 - 4) = (-1)(-4) = 4 > 0$. Vậy $f'(x) > 0$ trên khoảng $(-1, 2)$. - Khi $x > 2$, chọn $x = 3$: $f'(3) = (-3 - 1)(3^2 - 4) = (-4)(9 - 4) = (-4)(5) < 0$. Vậy $f'(x) < 0$ trên khoảng $(2, +\infty)$. Bước 3: Kết luận các khoảng đồng biến của hàm số. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên các khoảng mà đạo hàm $f'(x) > 0$. Từ các kết quả ở trên, ta thấy rằng hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -2)$ và $(-1, 2)$. Vậy hàm số có 2 khoảng đồng biến là $(-\infty, -2)$ và $(-1, 2)$. Câu 2. Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x^2 - 3x - 3}{x - 2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta viết lại hàm số dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức có mẫu số bậc cao hơn tử số: \[ y = \frac{2x^2 - 3x - 3}{x - 2} = 2x + 1 + \frac{1}{x - 2} \] Bước 2: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x - 2}$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số này là $(2;0)$. Bước 3: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = 2x + 1$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số này là $(0;1)$. Bước 4: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = 2x + 1 + \frac{1}{x - 2}$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số này là trung điểm của hai tâm đối xứng đã xác định ở bước 2 và bước 3: \[ I\left( \frac{2+0}{2}; \frac{0+1}{2} \right) = I\left( 1; \frac{1}{2} \right) \] Bước 5: Tính giá trị của $C = a - 3b$: \[ C = 1 - 3 \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \] Vậy giá trị của $C$ là $-\frac{1}{2}$. Câu 3. Để tìm giá trị của \( x \) sao cho lợi nhuận \( P(x) \) đạt giá trị lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của \( P(x) \). \[ P'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{10} + 6x^2 + 200\right) = \frac{2x}{10} + 12x = \frac{x}{5} + 12x = \frac{61x}{5} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( x \) sao cho \( P'(x) = 0 \). \[ \frac{61x}{5} = 0 \] \[ x = 0 \] Bước 3: Xác định dấu của \( P'(x) \) để kiểm tra tính chất cực đại hoặc cực tiểu của \( P(x) \) tại điểm \( x = 0 \). - Khi \( x < 0 \): \( P'(x) < 0 \) - Khi \( x > 0 \): \( P'(x) > 0 \) Từ đó, ta thấy rằng \( P(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 0 \). Để tìm giá trị lớn nhất của \( P(x) \) trong khoảng \( x \geq 0 \), ta cần kiểm tra giới hạn của \( P(x) \) khi \( x \to \infty \). Bước 4: Kiểm tra giới hạn của \( P(x) \) khi \( x \to \infty \). \[ \lim_{x \to \infty} P(x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{10} + 6x^2 + 200 \right) = \infty \] Do đó, \( P(x) \) không có giá trị lớn nhất trong khoảng \( x \geq 0 \). Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ quan tâm đến giá trị của \( P(x) \) tại điểm \( x = 0 \): Bước 5: Tính giá trị của \( P(x) \) tại \( x = 0 \). \[ P(0) = \frac{0^2}{10} + 6 \cdot 0^2 + 200 = 200 \] Vậy, khi không chi tiền cho quảng cáo (\( x = 0 \)), công ty sẽ thu được lợi nhuận là 200 nghìn USD. Đáp số: 200 nghìn USD. Câu 4. Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số $y = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y' = \left( \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 - x + 1)'(x + 1) - (x^2 - x + 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 1)(x + 1) - (x^2 - x + 1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x - x - 1 - x^2 + x - 1}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x - 2}{(x + 1)^2} \] Bước 2: Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ y' = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 2x - 2}{(x + 1)^2} = 0 \] \[ x^2 + 2x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3} \] Vậy ta có hai điểm cực trị là \( x = -1 + \sqrt{3} \) và \( x = -1 - \sqrt{3} \). Bước 3: Xác định giá trị cực đại và cực tiểu. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: \[ y(-1 + \sqrt{3}) = \frac{(-1 + \sqrt{3})^2 - (-1 + \sqrt{3}) + 1}{-1 + \sqrt{3} + 1} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3 + 1 - \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} - 3 \] \[ y(-1 - \sqrt{3}) = \frac{(-1 - \sqrt{3})^2 - (-1 - \sqrt{3}) + 1}{-1 - \sqrt{3} + 1} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3 + 1 + \sqrt{3} + 1}{-\sqrt{3}} = \frac{6 + 3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = -2\sqrt{3} - 3 \] Vậy giá trị cực đại \( y_1 = 2\sqrt{3} - 3 \) và giá trị cực tiểu \( y_2 = -2\sqrt{3} - 3 \). Bước 4: Tính \( 2y_1 - 3y_2 \). \[ 2y_1 - 3y_2 = 2(2\sqrt{3} - 3) - 3(-2\sqrt{3} - 3) \] \[ = 4\sqrt{3} - 6 + 6\sqrt{3} + 9 \] \[ = 10\sqrt{3} + 3 \] Vậy \( 2y_1 - 3y_2 = 10\sqrt{3} + 3 \). Câu 5. Để hàm số $y=2x^2-3(m+2x^2+6x+1)x-3x+5$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;+\infty)$, ta cần tìm các giá trị nguyên của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn lớn hơn hoặc bằng 0 trên toàn bộ khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx} \left( 2x^2 - 3(m + 2x^2 + 6x + 1)x - 3x + 5 \right) \] Bước 2: Đơn giản hóa biểu thức đạo hàm. \[ y' = \frac{d}{dx} \left( 2x^2 - 3mx - 6x^3 - 18x^2 - 3x - 3x + 5 \right) \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( -6x^3 - 16x^2 - 3mx - 6x + 5 \right) \] \[ y' = -18x^2 - 32x - 3m - 6 \] Bước 3: Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;+\infty)$, ta cần: \[ y' \geq 0 \] \[ -18x^2 - 32x - 3m - 6 \geq 0 \] Bước 4: Xét phương trình bậc hai $-18x^2 - 32x - 3m - 6 = 0$. Để hàm số đồng biến trên toàn bộ khoảng, phương trình này phải không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép (đồng thời hệ số của $x^2$ phải nhỏ hơn 0). Bước 5: Áp dụng tiêu chí của phương trình bậc hai: \[ \Delta = b^2 - 4ac \leq 0 \] \[ \Delta = (-32)^2 - 4(-18)(-3m - 6) \leq 0 \] \[ 1024 - 72(3m + 6) \leq 0 \] \[ 1024 - 216m - 432 \leq 0 \] \[ 592 - 216m \leq 0 \] \[ 216m \geq 592 \] \[ m \geq \frac{592}{216} \] \[ m \geq \frac{74}{27} \approx 2.74 \] Vì $m$ là số nguyên, nên các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện trên là $m = 3, 4, 5, ...$ Do đó, có vô số giá trị nguyên của $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;+\infty)$. Câu 6: Để tìm giá trị của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + mx - 1 \) có hai điểm cực trị \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 + 20 = 0 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = 3x^2 - 6x + m \] Bước 2: Xác định điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị. Hàm số có hai điểm cực trị khi đạo hàm \( y' = 0 \) có hai nghiệm phân biệt. \[ 3x^2 - 6x + m = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm phân biệt khi: \[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot m > 0 \] \[ 36 - 12m > 0 \] \[ m < 3 \] Bước 3: Áp dụng định lý Viét cho phương trình \( 3x^2 - 6x + m = 0 \). Gọi \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình, ta có: \[ x_1 + x_2 = \frac{6}{3} = 2 \] \[ x_1 x_2 = \frac{m}{3} \] Bước 4: Thay vào điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 + 20 = 0 \). Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] Do đó: \[ x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 2 \cdot \frac{m}{3} = 4 - \frac{2m}{3} \] Thay vào điều kiện: \[ 4 - \frac{2m}{3} - \frac{m}{3} + 20 = 0 \] \[ 4 - \frac{3m}{3} + 20 = 0 \] \[ 4 - m + 20 = 0 \] \[ 24 - m = 0 \] \[ m = 24 \] Tuy nhiên, ta đã thấy rằng \( m < 3 \). Do đó, giá trị \( m = 24 \) không thoả mãn điều kiện ban đầu. Vì vậy, không có giá trị nào của \( m \) thoả mãn cả hai điều kiện trên. Kết luận: Không có giá trị của \( m \) thoả mãn yêu cầu của đề bài.