sndbxhxhxbx

Câu 1. Để tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề \( P: \exists x \in \mathbb{N}: 4x + 2 \geq 4 - 6x \), chúng ta sẽ áp dụng quy tắc phủ định cho mệnh đề tồn tại (\(\exists\)). Mệnh đề phủ định của \( \exists x \in \mathbb{N}: 4x + 2 \geq 4 - 6x \) là \( \forall x \in \mathbb{N}: 4x + 2 < 4 - 6x \). Lý do: - Mệnh đề tồn tại (\(\exists\)) phủ định thành mệnh đề toàn thể (\(\forall\)). - Mệnh đề \( 4x + 2 \geq 4 - 6x \) phủ định thành \( 4x + 2 < 4 - 6x \). Do đó, mệnh đề phủ định của \( P \) là: \[ \forall x \in \mathbb{N}: 4x + 2 < 4 - 6x \] Vậy đáp án đúng là: D. \( \forall x \in \mathbb{N}: 4x + 2 < 4 - 6x \). Câu 2. Một mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai. Chúng ta sẽ kiểm tra từng câu để xác định xem chúng có phải là mệnh đề hay không. A. 2024 chia hết cho 4. - Đây là một câu khẳng định và có thể kiểm tra được tính đúng sai. 2024 chia hết cho 4, vì 2024 : 4 = 506. Do đó, đây là một mệnh đề. B. Nấm có phải là một loài thực vật không? - Đây là một câu hỏi, không phải là một câu khẳng định. Vì vậy, nó không phải là một mệnh đề. C. Buồn ngủ quá! - Đây là một câu cảm thán, không phải là một câu khẳng định. Vì vậy, nó không phải là một mệnh đề. D. Hoa hồng đẹp nhất trong các loài hoa. - Đây là một câu khẳng định, nhưng nó mang tính chủ quan và không thể kiểm tra được tính đúng sai một cách khách quan. Vì vậy, nó không phải là một mệnh đề theo ý nghĩa logic. Kết luận: Trong các câu trên, chỉ có câu A là mệnh đề. Đáp án: A. 2024 chia hết cho 4. Câu 3. Để tìm tập hợp \( X \cup Y \), ta thực hiện phép hợp của hai tập hợp \( X \) và \( Y \). Tập hợp \( X = \{1, 2, 4, 7, 9\} \) Tập hợp \( Y = \{-1, 0, 7, 10\} \) Phép hợp \( X \cup Y \) sẽ bao gồm tất cả các phần tử từ cả hai tập hợp mà không lặp lại các phần tử giống nhau. Ta có: \[ X \cup Y = \{1, 2, 4, 7, 9, -1, 0, 10\} \] Như vậy, tập hợp \( X \cup Y \) có các phần tử là: 1, 2, 4, 7, 9, -1, 0, 10. Số lượng phần tử trong tập hợp \( X \cup Y \) là 8. Vậy đáp án đúng là: D. 8. Câu 4. Ta có hệ thức $c \sin C + b \sin B = a \sin A$. Áp dụng định lý sin ta có: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $ Trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Do đó ta có thể viết lại hệ thức đã cho dưới dạng: $ c \cdot \frac{c}{2R} + b \cdot \frac{b}{2R} = a \cdot \frac{a}{2R} $ Nhân cả hai vế với $2R$, ta được: $ c^2 + b^2 = a^2 $ Đây chính là hệ thức Pythagoras, suy ra tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại đỉnh $A$. Vậy khẳng định đúng là: C. $\Delta ABC$ vuông. Câu 5. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một dựa trên tính chất của các hàm lượng giác trong khoảng $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. A. $\sin(180^\circ - \alpha) < 0$ - Ta biết rằng $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$. Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, nên $\sin \alpha > 0$. Do đó, $\sin(180^\circ - \alpha) > 0$. Vậy khẳng định này sai. B. $\sin \alpha > 0$ - Trong khoảng $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, giá trị của $\sin \alpha$ luôn dương. Vậy khẳng định này đúng. C. $\cos \alpha < 0$ - Trong khoảng $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, giá trị của $\cos \alpha$ luôn dương. Vậy khẳng định này sai. D. $\tan \alpha < 0$ - Trong khoảng $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, giá trị của $\tan \alpha$ luôn dương. Vậy khẳng định này sai. Kết luận: Khẳng định đúng là B. $\sin \alpha > 0$. Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm tập hợp các số thực \( x \) thỏa mãn bất đẳng thức \( 6x + 1 \geq 5 - x \). Bước 1: Giải bất đẳng thức \( 6x + 1 \geq 5 - x \). Trước tiên, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) về một vế và các hằng số về vế còn lại: \[ 6x + x \geq 5 - 1 \] \[ 7x \geq 4 \] Bước 2: Chia cả hai vế cho 7 để tìm giá trị của \( x \): \[ x \geq \frac{4}{7} \] Bước 3: Viết tập hợp \( B \) dưới dạng đoạn hoặc khoảng. Tập hợp \( B \) bao gồm tất cả các số thực \( x \) lớn hơn hoặc bằng \( \frac{4}{7} \). Do đó, tập hợp \( B \) có thể được viết dưới dạng đoạn: \[ B = \left[ \frac{4}{7}; +\infty \right) \] Vậy đáp án đúng là: D. \( B = \left[ \frac{4}{7}; +\infty \right) \) Lập luận từng bước: 1. Giải bất đẳng thức \( 6x + 1 \geq 5 - x \) để tìm giá trị của \( x \). 2. Kết quả là \( x \geq \frac{4}{7} \). 3. Viết tập hợp \( B \) dưới dạng đoạn: \( B = \left[ \frac{4}{7}; +\infty \right) \). Câu 7. Để kiểm tra cặp số nào là nghiệm của bất phương trình $-6x - 6y + 4 < 0$, ta thay lần lượt từng cặp số vào bất phương trình và kiểm tra xem bất phương trình đó có đúng hay không. A. $(1; 3)$ Thay $x = 1$ và $y = 3$ vào bất phương trình: \[ -6 \cdot 1 - 6 \cdot 3 + 4 = -6 - 18 + 4 = -20 < 0 \] Bất phương trình đúng, vậy cặp số $(1; 3)$ là nghiệm của bất phương trình. B. $(-4; -5)$ Thay $x = -4$ và $y = -5$ vào bất phương trình: \[ -6 \cdot (-4) - 6 \cdot (-5) + 4 = 24 + 30 + 4 = 58 > 0 \] Bất phương trình sai, vậy cặp số $(-4; -5)$ không là nghiệm của bất phương trình. C. $(-4; -3)$ Thay $x = -4$ và $y = -3$ vào bất phương trình: \[ -6 \cdot (-4) - 6 \cdot (-3) + 4 = 24 + 18 + 4 = 46 > 0 \] Bất phương trình sai, vậy cặp số $(-4; -3)$ không là nghiệm của bất phương trình. D. $(-7; -5)$ Thay $x = -7$ và $y = -5$ vào bất phương trình: \[ -6 \cdot (-7) - 6 \cdot (-5) + 4 = 42 + 30 + 4 = 76 > 0 \] Bất phương trình sai, vậy cặp số $(-7; -5)$ không là nghiệm của bất phương trình. Kết luận: Cặp số $(1; 3)$ là nghiệm của bất phương trình $-6x - 6y + 4 < 0$. Câu 8. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng \(ax + by + c < 0\) hoặc \(ax + by + c > 0\), trong đó \(a\), \(b\), và \(c\) là hằng số, và \(x\), \(y\) là hai ẩn số. Ta sẽ kiểm tra từng phương án để xác định bất phương trình bậc nhất hai ẩn: A. \(-5x^2 + y - 5 \geq 0\) - Phương trình này có chứa \(x^2\), do đó không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. B. \(4x + 7y + 7 < 0\) - Phương trình này có dạng \(ax + by + c < 0\) với \(a = 4\), \(b = 7\), và \(c = 7\). Do đó, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. C. \(6 - \frac{2}{y} + \frac{4}{x} < 0\) - Phương trình này có chứa \(\frac{2}{y}\) và \(\frac{4}{x}\), do đó không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. D. \(6x^2 + 3y^2 > 2\) - Phương trình này có chứa \(x^2\) và \(y^2\), do đó không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy, đáp án đúng là: B. \(4x + 7y + 7 < 0\) Đáp án: B. \(4x + 7y + 7 < 0\) Câu 9. Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho về tam giác ABC với cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. \( a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cdot \cos A \) Theo Định lý Cosine, công thức đúng phải là: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Do đó, mệnh đề này sai vì nó có dấu cộng thay vì dấu trừ. B. \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \) Theo Định lý Cosine, công thức đúng là: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Do đó, mệnh đề này đúng. C. \( b^2 = a^2 + c^2 \) Đây là trường hợp đặc biệt của Định lý Pythagoras, chỉ đúng nếu góc giữa cạnh a và c là 90 độ. Không phải lúc nào cũng đúng, do đó mệnh đề này sai. D. \( \frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C} \) Đây không phải là một công thức chuẩn xác trong hình học tam giác. Do đó, mệnh đề này sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là B. Đáp án: B. \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \) Câu 10. Để xác định miền không gạch chéo (không kể bờ $\Delta)$ trong hình vẽ là miền nghiệm của bất phương trình nào, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình đường thẳng: - Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $(0, 3)$ và $(3, 0)$. - Ta có thể tìm phương trình đường thẳng này bằng cách sử dụng công thức tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$: \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \] - Thay $(x_1, y_1) = (0, 3)$ và $(x_2, y_2) = (3, 0)$ vào công thức: \[ y - 3 = \frac{0 - 3}{3 - 0} (x - 0) \implies y - 3 = -1 \cdot x \implies y = -x + 3 \] - Vậy phương trình đường thẳng là $y = -x + 3$ hoặc $x + y - 3 = 0$. 2. Xác định miền nghiệm của bất phương trình: - Để xác định miền không gạch chéo, ta cần kiểm tra các điểm nằm trong miền đó. - Chọn điểm $(0, 0)$ nằm trong miền không gạch chéo. - Thay $(0, 0)$ vào bất phương trình $x + y - 3 < 0$: \[ 0 + 0 - 3 < 0 \implies -3 < 0 \] - Điều này đúng, do đó miền không gạch chéo là miền nghiệm của bất phương trình $x + y - 3 < 0$. Vậy đáp án đúng là: D. $x + y - 3 < 0$. Câu 11. Áp dụng công thức cosin trong tam giác ABC, ta có: \[ \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ \cos A = \frac{4^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 4 \cdot 9} \] Tính toán từng phần: \[ 4^2 = 16 \] \[ 9^2 = 81 \] \[ 7^2 = 49 \] Do đó: \[ \cos A = \frac{16 + 81 - 49}{2 \cdot 4 \cdot 9} \] Tiếp tục tính toán: \[ 16 + 81 - 49 = 48 \] \[ 2 \cdot 4 \cdot 9 = 72 \] Vậy: \[ \cos A = \frac{48}{72} = \frac{2}{3} \] Đáp án đúng là: A. $\frac{2}{3}$