cúuuuuuuuu

Câu 3. Để tìm tốc độ trung bình \( v \) sao cho chi phí tiền xăng \( C(v) \) là thấp nhất, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực tiểu của hàm số \( C(v) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( C(v) \): \[ C(v) = \frac{5v}{6} + \frac{3375}{2v} \] Tính đạo hàm \( C'(v) \): \[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{5v}{6}\right) + \frac{d}{dv}\left(\frac{3375}{2v}\right) \] \[ C'(v) = \frac{5}{6} - \frac{3375}{2v^2} \] Bước 2: Tìm điểm cực tiểu bằng cách đặt đạo hàm bằng 0: \[ C'(v) = 0 \] \[ \frac{5}{6} - \frac{3375}{2v^2} = 0 \] \[ \frac{5}{6} = \frac{3375}{2v^2} \] \[ 5v^2 = 3375 \times 3 \] \[ 5v^2 = 10125 \] \[ v^2 = 2025 \] \[ v = 45 \quad (\text{vì } v > 0) \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại điểm \( v = 45 \): \[ C''(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{5}{6} - \frac{3375}{2v^2}\right) \] \[ C''(v) = \frac{3375}{v^3} \] Tại \( v = 45 \): \[ C''(45) = \frac{3375}{45^3} > 0 \] Vậy \( v = 45 \) là điểm cực tiểu của hàm số \( C(v) \). Do đó, tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình \( v = 45 \) km/h để chi phí tiền xăng là thấp nhất. Đáp số: \( v = 45 \) km/h. Câu 4. Gọi chiều dài dây từ chốt đến đỉnh cọc cao 12m là y (m), chiều dài dây từ chốt đến đỉnh cọc cao 28m là z (m). Ta có: $y^{2} = x^{2} + 12^{2}$ (1) $z^{2} = (30 - x)^{2} + 28^{2}$ (2) Từ (1) và (2) ta có: $y^{2} + z^{2} = 2x^{2} - 60x + 1204$ $= 2(x - 15)^{2} + 904$ Vậy $y^{2} + z^{2}$ nhỏ nhất khi $x = 15$. Suy ra $y + z$ nhỏ nhất khi $x = 15$. Đáp số: 15 m Câu 1. Để lập bảng biến thiên và tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \( y = \frac{x + 3}{x - 1} \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số Hàm số \( y = \frac{x + 3}{x - 1} \) có mẫu số là \( x - 1 \). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x - 1 \neq 0 \] \[ x \neq 1 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số Ta tính đạo hàm của \( y = \frac{x + 3}{x - 1} \): \[ y' = \left( \frac{x + 3}{x - 1} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x + 3)'(x - 1) - (x + 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(1)(x - 1) - (x + 3)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x - 1 - x - 3}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-4}{(x - 1)^2} \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm Đạo hàm \( y' = \frac{-4}{(x - 1)^2} \) luôn luôn nhỏ hơn 0 vì \((x - 1)^2\) luôn luôn dương (trừ khi \( x = 1 \), nhưng tại điểm này hàm số không xác định). Bước 4: Lập bảng biến thiên Từ kết quả trên, ta thấy rằng đạo hàm \( y' < 0 \) cho mọi \( x \neq 1 \). Điều này có nghĩa là hàm số luôn luôn giảm trên các khoảng xác định của nó. Bảng biến thiên của hàm số \( y = \frac{x + 3}{x - 1} \): | \( x \) | \( (-\infty, 1) \) | \( 1 \) | \( (1, +\infty) \) | |---------|---------------------|---------|---------------------| | \( y' \)| \( - \) | \( \text{không xác định} \) | \( - \) | | \( y \) | Giảm | \( \text{không xác định} \) | Giảm | Bước 5: Kết luận khoảng đơn điệu Hàm số \( y = \frac{x + 3}{x - 1} \) luôn luôn giảm trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \). Đáp số Khoảng đơn điệu giảm của hàm số là: \[ (-\infty, 1) \quad \text{và} \quad (1, +\infty) \] Câu 2. Để tìm vận tốc nhỏ nhất của chất điểm trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 4 \) giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = t^4 - 10t^2 + 201 \] \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(t^4 - 10t^2 + 201) = 4t^3 - 20t \] 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số \( v(t) \) bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ v'(t) = 4t^3 - 20t = 0 \] \[ 4t(t^2 - 5) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t^2 = 5 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = \sqrt{5} \quad \text{hoặc} \quad t = -\sqrt{5} \] Trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 4 \), ta chỉ quan tâm đến các giá trị \( t \geq 0 \): \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = \sqrt{5} \] 3. Tính giá trị của hàm số \( v(t) \) tại các điểm cực trị và tại hai đầu khoảng thời gian: \[ v(0) = 0^4 - 10 \cdot 0^2 + 201 = 201 \] \[ v(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10 \cdot (\sqrt{5})^2 + 201 = 25 - 50 + 201 = 176 \] \[ v(4) = 4^4 - 10 \cdot 4^2 + 201 = 256 - 160 + 201 = 297 \] 4. So sánh các giá trị để tìm vận tốc nhỏ nhất: \[ v(0) = 201 \] \[ v(\sqrt{5}) = 176 \] \[ v(4) = 297 \] Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là \( v(\sqrt{5}) = 176 \). Kết luận: Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 4 \) giây là \( 176 \) m/s.