giúp mình với

Câu 4: Ta có: $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AC}$ Áp dụng tính chất của vectơ, ta có: $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC})$ $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC})$ $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CA}$ $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{CB}$ Vậy $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{CB}$. Do đó, đáp án đúng là B. $\overrightarrow{BC}$. Câu 5 Trước tiên, ta xét các đẳng thức vectơ đã cho: A. $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{HK}.$ B. $~\overrightarrow{HK}=\frac12\overrightarrow{BC}.$ C. $~\overrightarrow{AH}=-\frac12\overrightarrow{AB}.$ D. $~\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AH}.$ Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một: 1. Xét $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{HK}$: - Vì H và K lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên HK là đường trung bình của tam giác ABC. - Đường trung bình của tam giác bằng nửa cạnh đáy, do đó $\overrightarrow{HK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. - Vậy $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HK}$ là đúng. 2. Xét $\overrightarrow{HK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$: - Như trên đã chứng minh, $\overrightarrow{HK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ là đúng. 3. Xét $\overrightarrow{AH} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$: - H là trung điểm của AB, nên $\overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. - Do đó, $\overrightarrow{AH} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ là sai. 4. Xét $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AH}$: - H là trung điểm của AB, nên $\overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. - Nhân cả hai vế với 2 ta được $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AH}$, vậy đẳng thức này là đúng. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng đẳng thức sai là: C. $~\overrightarrow{AH}=-\frac12\overrightarrow{AB}.$ Đáp án: C. $~\overrightarrow{AH}=-\frac12\overrightarrow{AB}.$ Câu 6: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm G của tam giác BCD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm. Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức vectơ: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$ B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$ C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AG}$ D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{AG}$ Ta biết rằng trọng tâm G của tam giác BCD thỏa mãn: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3} \] Nhân cả hai vế với 3 ta có: \[ 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \] Do đó, đẳng thức đúng là: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} \] Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$ Câu 7: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Ta sẽ tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{A^\prime B}$ và $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$. 1. Xác định các điểm: - Điểm A' nằm trên đỉnh phía trên của mặt ABB'A'. - Điểm B nằm trên đỉnh phía dưới của mặt ABB'A'. - Điểm D' nằm trên đỉnh phía trên của mặt ADD'A'. - Điểm C' nằm trên đỉnh phía trên của mặt BCC'B'. 2. Xác định các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{A^\prime B}$ chạy từ điểm A' đến điểm B. - Vectơ $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$ chạy từ điểm D' đến điểm C'. 3. Nhận xét về vị trí của các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{A^\prime B}$ nằm trên mặt ABB'A' và song song với cạnh AB. - Vectơ $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$ nằm trên mặt BCC'B' và song song với cạnh BC. 4. Do hình lập phương có các cạnh vuông góc với nhau, ta có: - Mặt ABB'A' vuông góc với mặt BCC'B'. - Vì vậy, vectơ $\overrightarrow{A^\prime B}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$. 5. Kết luận: - Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{A^\prime B}$ và $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$ là 90°. Vậy đáp án đúng là D. $~90^0$. Câu 8: Trước tiên, ta xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{B^\prime C}$ trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. 1. Xác định các điểm và vectơ: - Điểm B, D, B', C là các đỉnh của hình lập phương. - Vectơ $\overrightarrow{BD}$ đi từ B đến D. - Vectơ $\overrightarrow{B^\prime C}$ đi từ B' đến C. 2. Tìm góc giữa hai vectơ: - Trong hình lập phương, ta có thể thấy rằng vectơ $\overrightarrow{BD}$ nằm trên mặt đáy ABCD và vectơ $\overrightarrow{B^\prime C}$ nằm trên mặt bên BCC'B'. - Ta cần tìm góc giữa hai vectơ này. Để làm điều này, ta có thể sử dụng tính chất của hình lập phương và các phép toán vectơ. 3. Phương pháp giải: - Ta có thể sử dụng phương pháp chiếu trực giao để tìm góc giữa hai vectơ. - Ta có thể sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|}$. 4. Áp dụng vào bài toán: - Ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{BD}$ và vectơ $\overrightarrow{B^\prime C}$ tạo thành một góc 60° trong hình lập phương. - Điều này có thể thấy rõ qua việc sử dụng các tính chất của hình lập phương và các phép toán vectơ. Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{B^\prime C}$ là $60^0$. Đáp án đúng là: C. $~60^0$. Câu 9: Để xác định trọng tâm \( G \) của tứ diện \( ABCD \), ta cần kiểm tra các khẳng định về vị trí của \( G \) dựa trên tính chất của trọng tâm. Trọng tâm \( G \) của tứ diện \( ABCD \) thỏa mãn: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \] Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \( G \) là trung điểm của đoạn \( IJ \) (trong đó \( I \) và \( J \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \)). B. \( G \) là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của \( AC \) và \( BD \). C. \( G \) là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của \( AD \) và \( BC \). D. Chưa thể xác định được. Xét từng khẳng định: Khẳng định A: - \( I \) là trung điểm của \( AB \): \( \overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB} \) - \( J \) là trung điểm của \( CD \): \( \overrightarrow{JC} = -\overrightarrow{JD} \) Trọng tâm \( G \) của tứ diện \( ABCD \) cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của hai cặp đỉnh đối xứng trong tứ diện. Do đó, \( G \) là trung điểm của đoạn \( IJ \). Khẳng định B: - Trung điểm của \( AC \) là \( M \): \( \overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MC} \) - Trung điểm của \( BD \) là \( N \): \( \overrightarrow{NB} = -\overrightarrow{ND} \) Tương tự như trên, trọng tâm \( G \) cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của hai cặp đỉnh đối xứng trong tứ diện. Do đó, \( G \) là trung điểm của đoạn \( MN \). Khẳng định C: - Trung điểm của \( AD \) là \( P \): \( \overrightarrow{PA} = -\overrightarrow{PD} \) - Trung điểm của \( BC \) là \( Q \): \( \overrightarrow{QB} = -\overrightarrow{QC} \) Tương tự như trên, trọng tâm \( G \) cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của hai cặp đỉnh đối xứng trong tứ diện. Do đó, \( G \) là trung điểm của đoạn \( PQ \). Khẳng định D: - Đây là khẳng định phủ định, cho rằng chưa thể xác định được. Tuy nhiên, qua các khẳng định trên, ta thấy rằng trọng tâm \( G \) có thể xác định được dựa trên các tính chất đã nêu. Kết luận: Tất cả các khẳng định A, B, và C đều đúng vì trọng tâm \( G \) của tứ diện \( ABCD \) là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của các cặp đỉnh đối xứng trong tứ diện. Khẳng định D là sai vì trọng tâm \( G \) hoàn toàn có thể xác định được. Do đó, khẳng định sai là: D. Chưa thể xác định được. Câu 10: Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để tìm ra khẳng định sai. A. $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = 2\overrightarrow{AC}$ Ta có: $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{A_1C_1} + \overrightarrow{AA_1}$ $\overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AC}$ Do đó: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = (\overrightarrow{A_1C_1} + \overrightarrow{AA_1}) + (\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AC})$ Vì $\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AA_1} = -\overrightarrow{A_1A}$, nên: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AC}$ Khẳng định này đúng. B. $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{0}$ Ta có: $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{A_1C_1} + \overrightarrow{AA_1}$ $\overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA_1}$ $\overrightarrow{C_1C} = -\overrightarrow{CC_1}$ Do đó: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C} = (\overrightarrow{A_1C_1} + \overrightarrow{AA_1}) + (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA_1}) + 2(-\overrightarrow{CC_1})$ Vì $\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1}$, nên: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA_1} - 2\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}$ Khẳng định này đúng. C. $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{AA_1}$ Ta đã chứng minh ở trên rằng: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = 2\overrightarrow{AC}$ Vì vậy, khẳng định này sai. D. $\overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CC_1}$ Ta có: $\overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA_1}$ $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA}$ Do đó: $\overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA_1}) + (-\overrightarrow{CA}) = \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{CC_1}$ Khẳng định này đúng. Vậy khẳng định sai là: C. $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{AA_1}$ Câu 11: Để tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EG}$, ta cần xác định các thành phần của hai vectơ này trong hệ tọa độ. Trong hình lập phương ABCD.EFGH với cạnh bằng a, ta có: - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0) - Điểm B có tọa độ (a, 0, 0) - Điểm E có tọa độ (0, a, 0) - Điểm G có tọa độ (a, a, a) Do đó: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ (a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a, 0, 0) - Vectơ $\overrightarrow{EG}$ có tọa độ (a - 0, a - a, a - 0) = (a, 0, a) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EG} = (a, 0, 0) \cdot (a, 0, a) = a \cdot a + 0 \cdot 0 + 0 \cdot a = a^2 \] Vậy $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EG} = a^2$. Đáp án đúng là: B. $a^2$. Câu 12: A. Ta có $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$. Mệnh đề đúng. B. Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{BC}|.\cos \widehat{ABC}=a.a.\cos 120^{\circ }=a^{2}.(-\frac{1}{2})=-\frac{a^{2}}{2}$. Mệnh đề đúng. C. Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}\neq 0$. Mệnh đề sai. D. Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}).\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}=|\overrightarrow{CB}|.|\overrightarrow{CD}|.\cos \widehat{BCD}-|\overrightarrow{CA}|.|\overrightarrow{CD}|.\cos \widehat{ACD}=a.a.\cos 120^{\circ }-a.a.\cos 120^{\circ }=0$. Mệnh đề đúng. Chọn C Câu 13: A. Nếu giá của ba vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. - Đây là khẳng định đúng vì nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một, chúng sẽ nằm trên cùng một mặt phẳng. B. Nếu trong ba vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ có một vectơ $\overrightarrow0$ thì ba vectơ đó đồng phẳng. - Đây là khẳng định đúng vì vectơ $\overrightarrow0$ có thể coi là nằm trên mọi mặt phẳng, do đó ba vectơ sẽ đồng phẳng. C. Nếu giá của ba vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng. - Đây là khẳng định sai vì giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng không đảm bảo rằng chúng phải nằm trên cùng một mặt phẳng. Chúng có thể nằm trên các mặt phẳng khác nhau nhưng vẫn song song với cùng một mặt phẳng. D. Nếu trong ba vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. - Đây là khẳng định đúng vì nếu hai vectơ cùng phương, chúng sẽ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song với nhau. Do đó, ba vectơ sẽ đồng phẳng. Vậy khẳng định sai là C. Câu 14: Trước tiên, ta xét tính chất của hình bình hành ABCD. Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \] Bây giờ, ta sẽ xét các vectơ từ đỉnh S đến các đỉnh của đáy ABCD. Ta có: \[ \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{a} \] \[ \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{b} \] \[ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{c} \] \[ \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{d} \] Ta cần tìm mối liên hệ giữa các vectơ này. Ta biết rằng trong hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Tương tự, ta cũng có: \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \] Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA} = (\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}) + (\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA}) \] Hay: \[ \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{a}) \] Rearrange lại ta có: \[ \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} \] \[ \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} - 2\overrightarrow{a} \] \[ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} \] \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} \] Vậy khẳng định đúng là: \[ \boxed{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}} \] Đáp án đúng là: C. \( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \). Câu 15: Để tìm vector $\overrightarrow{MP}$, ta sẽ sử dụng công thức cộng và trừ vector trong không gian. Trước tiên, ta xác định các vector liên quan đến điểm M và P: - Điểm M là trung điểm của AB, do đó $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$. - Điểm P là trung điểm của CD, do đó $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{c} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{c} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{d} - \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d})$. Bây giờ, ta tính $\overrightarrow{MP}$: \[ \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM} \] Thay các giá trị đã tìm được vào: \[ \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}) - \frac{1}{2}\overrightarrow{b} \] Rút gọn biểu thức: \[ \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}) \] Vậy khẳng định đúng là: A. $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b})$.