Giúp em với ạ

BÀI 3 Trong chương trình Toán lớp 12, chúng ta sẽ học về các phép toán vectơ và biểu thức tọa độ của chúng. Dưới đây là các phép toán vectơ cơ bản và cách biểu thức tọa độ của chúng. 1. Tổng của hai vectơ Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_1, a_2)$ và $\vec{b} = (b_1, b_2)$, tổng của hai vectơ này được tính như sau: \[ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) \] 2. Hiệu của hai vectơ Hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được tính như sau: \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2) 3. Tích của một vectơ với một số thực Cho vectơ $\vec{a} = (a_1, a_2)$ và số thực $k$, tích của vectơ này với số thực được tính như sau: k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2) 4. Độ dài của một vectơ Độ dài của vectơ $\vec{a} = (a_1, a_2)$ được tính bằng công thức: |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} 5. Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương - Vectơ pháp tuyến: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng có phương song song với vectơ chỉ phương $(a, b)$ là vectơ $(b, -a)$ hoặc $(-b, a)$. - Vectơ chỉ phương: Một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương pháp tuyến $(a, b)$ là vectơ $(b, -a)$ hoặc $(-b, a)$. 6. Tích vô hướng của hai vectơ Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a} = (a_1, a_2)$ và $\vec{b} = (b_1, b_2)$ được tính như sau: \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 7. Điều kiện vuông góc của hai vectơ Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu tích vô hướng của chúng bằng 0: \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 8. Điều kiện song song của hai vectơ Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ song song với nhau nếu và chỉ nếu tồn tại số thực $k$ sao cho: \vec{a} = k \cdot \vec{b} 9. Phương trình đường thẳng qua điểm và có vectơ chỉ phương Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a, b)$ là: \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} 10. Phương trình đường thẳng qua hai điểm Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $M_1(x_1, y_1)$ và $M_2(x_2, y_2)$ là: \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} 11. Phương trình đường thẳng có vectơ pháp tuyến Phương trình đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A, B)$ và đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ là: A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0 12. Phương trình đường thẳng có hệ số góc Phương trình đường thẳng có hệ số góc $m$ và đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ là: y - y_0 = m(x - x_0) 13. Điều kiện vuông góc của hai đường thẳng Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ và $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu: A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = 0 14. Điều kiện song song của hai đường thẳng Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ và $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$ song song với nhau nếu và chỉ nếu tồn tại số thực $k$ sao cho: (A_1, B_1) = k \cdot (A_2, B_2) 15. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0, y_0)$ đến đường thẳng có phương trình $Ax + By + C = 0$ là: d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} 16. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $Ax + By + C_1 = 0$ và $Ax + By + C_2 = 0$ là: d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} 17. Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ và $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$ là: \cos \theta = \frac{A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}} 18. Giao điểm của hai đường thẳng Giao điểm của hai đường thẳng $Ax + By + C_1 = 0$ và $A'x + B'y + C_2 = 0$ được tìm bằng cách giải hệ phương trình: \begin{cases} Ax + By + C_1 = 0 \\ A'x + B'y + C_2 = 0 \end{cases} 19. Điều kiện ba điểm thẳng hàng Ba điểm $M_1(x_1, y_1)$, $M_2(x_2, y_2)$ và $M_3(x_3, y_3)$ thẳng hàng nếu và chỉ nếu: \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0 20. Điều kiện ba đường thẳng đồng quy Ba đường thẳng $A_1x + B_1y + C_1 = 0$, $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ và $A_3x + B_3y + C_3 = 0$ đồng quy nếu và chỉ nếu: A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 21. Diện tích tam giác Diện tích tam giác có đỉnh $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ và $C(x_3, y_3)$ là: S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| 22. Trung điểm của đoạn thẳng Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ là: M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) 23. Trọng tâm của tam giác Trọng tâm của tam giác có đỉnh $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ và $C(x_3, y_3)$ là: G \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) 24. Tọa độ của hình chiếu trực giao Hình chiếu trực giao của điểm $M(x, y)$ lên đường thẳng $Ax + By + C = 0$ là: M'(x', y') = \left( \frac{B^2x - ABy - AC}{A^2 + B^2}, \frac{-ABx + A^2y - BC}{A^2 + B^2} \right) 25. Tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số Tọa độ của điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k$ là: M \left( \frac{x_2 + kx_1}{1 + k}, \frac{y_2 + ky_1}{1 + k} \right) 26. Tọa độ của điểm đối xứng - Đối xứng qua trục Ox: Điểm $M(x, y)$ có điểm đối xứng qua trục Ox là $M'(x, -y)$. - Đối xứng qua trục Oy: Điểm $M(x, y)$ có điểm đối xứng qua trục Oy là $M'(-x, y)$. - Đối xứng qua gốc tọa độ: Điểm $M(x, y)$ có điểm đối xứng qua gốc tọa độ là $M'(-x, -y)$. - Đối xứng qua đường thẳng $y = x$: Điểm $M(x, y)$ có điểm đối xứng qua đường thẳng $y = x$ là $M'(y, x)$. - Đối xứng qua đường thẳng $y = -x$: Điểm $M(x, y)$ có điểm đối xứng qua đường thẳng $y = -x$ là $M'(-y, -x)$. 27. Tọa độ của điểm trong mặt phẳng tọa độ Tọa độ của điểm $M$ trong mặt phẳng tọa độ là $(x, y)$, trong đó $x$ là hoành độ và $y$ là tung độ. 28. Tọa độ của điểm trên đường thẳng Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng $Ax + By + C = 0$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng. 29. Tọa độ của điểm trên đường tròn Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường tròn $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ thỏa mãn phương trình của đường tròn. 30. Tọa độ của điểm trên parabol Tọa độ của điểm $M$ nằm trên parabol $y = ax^2 + bx + c$ thỏa mãn phương trình của parabol. 31. Tọa độ của điểm trên elip Tọa độ của điểm $M$ nằm trên elip $\frac{(x - a)^2}{a^2} + \frac{(y - b)^2}{b^2} = 1$ thỏa mãn phương trình của elip. 32. Tọa độ của điểm trên hypebol Tọa độ của điểm $M$ nằm trên hypebol $\frac{(x - a)^2}{a^2} - \frac{(y - b)^2}{b^2} = 1$ thỏa mãn phương trình của hypebol. 33. Tọa độ của điểm trên đường cong Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường cong $f(x, y) = 0$ thỏa mãn phương trình của đường cong. 34. Tọa độ của điểm trên đường thẳng nghiêng Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng nghiêng $y = mx + n$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng nghiêng. 35. Tọa độ của điểm trên đường thẳng đứng Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng đứng $x = a$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đứng. 36. Tọa độ của điểm trên đường thẳng ngang Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng ngang $y = b$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng ngang. 37. Tọa độ của điểm trên đường thẳng vuông góc Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng $Ax + By + C = 0$ và đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng vuông góc. 38. Tọa độ của điểm trên đường thẳng song song Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng song song với đường thẳng $Ax + By + C = 0$ và đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng song song. 39. Tọa độ của điểm trên đường thẳng đi qua gốc tọa độ Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua gốc tọa độ $y = mx$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đi qua gốc tọa độ. 40. Tọa độ của điểm trên đường thẳng đi qua hai điểm Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm $M_1(x_1, y_1)$ và $M_2(x_2, y_2)$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm. 41. Tọa độ của điểm trên đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a, b)$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương. 42. Tọa độ của điểm trên đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A, B)$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến. 43. Tọa độ của điểm trên đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ và có hệ số góc $m$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc. 44. Tọa độ của điểm trên đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a, b)$ và vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A, B)$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến. 45. Tọa độ của điểm trên đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương và hệ số góc Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a, b)$ và hệ số góc $m$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương và hệ số góc. 46. Tọa độ của điểm trên đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến và hệ số góc Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A, B)$ và hệ số góc $m$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến và hệ số góc. 47. Tọa độ của điểm trên đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và hệ số góc Tọa độ của điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a, b)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A, B)$ và hệ số góc $m$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và hệ số góc. 48. Tọa độ của điểm trên đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và hệ số góc và điều kiện vuông góc Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 1. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u + 3\overrightarrow v$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $3\overrightarrow v$. \[ 3\overrightarrow v = 3 \times (-1, -2, 1) = (-3, -6, 3) \] Bước 2: Cộng tọa độ của $\overrightarrow u$ và $3\overrightarrow v$. \[ \overrightarrow u + 3\overrightarrow v = (1, -4, 0) + (-3, -6, 3) = (1 - 3, -4 - 6, 0 + 3) = (-2, -10, 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow u + 3\overrightarrow v$ là $(-2, -10, 3)$. Đáp án đúng là: A. $(-2, -10, 3)$. Câu 2. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u - \overrightarrow v$, ta thực hiện phép trừ từng thành phần của hai vectơ. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $(1; 3; -2)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $(2; 1; -1)$. Ta thực hiện phép trừ từng thành phần: \[ \overrightarrow u - \overrightarrow v = (1 - 2; 3 - 1; -2 - (-1)) = (-1; 2; -1) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow u - \overrightarrow v$ là $(-1; 2; -1)$. Đáp án đúng là: C. $(-1; 2; -1)$. Câu 3. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow a - \overrightarrow b$, ta thực hiện phép trừ từng thành phần của hai vectơ. Tọa độ của $\overrightarrow a$ là $(2; 3; 2)$. Tọa độ của $\overrightarrow b$ là $(1; 1; -1)$. Ta có: \[ \overrightarrow a - \overrightarrow b = (2 - 1; 3 - 1; 2 - (-1)) = (1; 2; 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow a - \overrightarrow b$ là $(1; 2; 3)$. Đáp án đúng là: D. $(1; 2; 3)$. Câu 4. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$, ta thực hiện các phép tính sau: 1. Tìm tọa độ của $2\overrightarrow{c}$: \[ 2\overrightarrow{c} = 2 \cdot (4; 0; -4) = (8; 0; -8) \] 2. Tính $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (1; 2; 3) - (2; 2; -1) = (1 - 2; 2 - 2; 3 - (-1)) = (-1; 0; 4) \] 3. Tính $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$: \[ \overrightarrow{d} = (-1; 0; 4) + (8; 0; -8) = (-1 + 8; 0 + 0; 4 - 8) = (7; 0; -4) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}$ là $(7; 0; -4)$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{d}(7; 0; -4)$ Câu 5. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u=2\overrightarrow a+3\overrightarrow b-2\overrightarrow c$, ta thực hiện các phép tính sau: Bước 1: Tính $2\overrightarrow a$ \[ 2\overrightarrow a = 2 \cdot (2, -3, 3) = (4, -6, 6) \] Bước 2: Tính $3\overrightarrow b$ \[ 3\overrightarrow b = 3 \cdot (0, 2, -1) = (0, 6, -3) \] Bước 3: Tính $-2\overrightarrow c$ \[ -2\overrightarrow c = -2 \cdot (3, -1, 5) = (-6, 2, -10) \] Bước 4: Cộng các kết quả trên lại để tìm $\overrightarrow u$ \[ \overrightarrow u = (4, -6, 6) + (0, 6, -3) + (-6, 2, -10) = (4 + 0 - 6, -6 + 6 + 2, 6 - 3 - 10) = (-2, 2, -7) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $(-2, 2, -7)$. Đáp án đúng là: B. $(-2, 2, -7)$. Câu 6. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u=2\overrightarrow a+3\overrightarrow b-2\overrightarrow c$, ta thực hiện các phép tính sau: Bước 1: Tính $2\overrightarrow a$ \[ 2\overrightarrow a = 2 \cdot (2, -3, 3) = (4, -6, 6) \] Bước 2: Tính $3\overrightarrow b$ \[ 3\overrightarrow b = 3 \cdot (0, 2, -1) = (0, 6, -3) \] Bước 3: Tính $-2\overrightarrow c$ \[ -2\overrightarrow c = -2 \cdot (3, -1, 5) = (-6, 2, -10) \] Bước 4: Cộng các kết quả trên lại để tìm $\overrightarrow u$ \[ \overrightarrow u = (4, -6, 6) + (0, 6, -3) + (-6, 2, -10) = (4 + 0 - 6, -6 + 6 + 2, 6 - 3 - 10) = (-2, 2, -7) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $(-2, 2, -7)$. Đáp án đúng là: B. $(-2, 2, -7)$. Câu 7. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow a = \overrightarrow x + 2\overrightarrow y$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $2\overrightarrow y$. \[ 2\overrightarrow y = 2(1; 0; -1) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 0; 2 \cdot (-1)) = (2; 0; -2) \] Bước 2: Cộng vectơ $\overrightarrow x$ và $2\overrightarrow y$. \[ \overrightarrow a = \overrightarrow x + 2\overrightarrow y = (2; 1; -3) + (2; 0; -2) = (2 + 2; 1 + 0; -3 + (-2)) = (4; 1; -5) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$ là $(4; 1; -5)$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow a = (4; 1; -5)$. Câu 8. Để tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}$, ta thực hiện phép cộng và trừ các thành phần tương ứng của các vectơ đơn vị. 1. Vectơ $\overrightarrow{i}$ có tọa độ $(1, 0, 0)$. 2. Vectơ $\overrightarrow{j}$ có tọa độ $(0, 1, 0)$. 3. Vectơ $\overrightarrow{k}$ có tọa độ $(0, 0, 1)$. Bây giờ, ta thực hiện phép cộng và trừ các thành phần tương ứng: - Thành phần thứ nhất (dọc theo trục Ox): $1 + 0 - 0 = 1$ - Thành phần thứ hai (dọc theo trục Oy): $0 + 1 - 0 = 1$ - Thành phần thứ ba (dọc theo trục Oz): $0 + 0 - 1 = -1$ Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}$ là $(1, 1, -1)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = (1, 1, -1)$. Câu 9. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $2\overrightarrow{a}$. \[ 2\overrightarrow{a} = 2 \cdot (1; 2; 1) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 2; 2 \cdot 1) = (2; 4; 2) \] Bước 2: Cộng tọa độ của $2\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. \[ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2; 4; 2) + (-1; 3; 0) = (2 + (-1); 4 + 3; 2 + 0) = (1; 7; 2) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}$ là $(1; 7; 2)$. Đáp án đúng là: A. $(1; 7; 2)$. Câu 10. Để tìm giá trị của \( |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng của ba vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), và \(\overrightarrow{c}\). \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (-2; 2; 0) + (2; 2; 0) + (2; 2; 2) \] Bước 2: Cộng từng thành phần của các vectơ lại với nhau. \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (-2 + 2 + 2; 2 + 2 + 2; 0 + 0 + 2) = (2; 6; 2) \] Bước 3: Tính độ dài của vectơ kết quả. \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| = \sqrt{(2)^2 + (6)^2 + (2)^2} \] Bước 4: Thực hiện phép tính trong căn bậc hai. \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| = \sqrt{4 + 36 + 4} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \] Vậy giá trị của \( |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| \) là \( 2\sqrt{11} \). Đáp án đúng là: C. \( 2\sqrt{11} \). Câu 11. Để hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; m-1; 3)$ và $\overrightarrow{b} = (1; 3; -2n)$ cùng hướng, ta phải tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho tồn tại một số thực \(k \neq 0\) thỏa mãn: \[ \overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b} \] Tức là: \[ (2; m-1; 3) = k \cdot (1; 3; -2n) \] Ta có hệ phương trình sau: 1. \(2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2\) 2. \(m - 1 = k \cdot 3 \Rightarrow m - 1 = 2 \cdot 3 \Rightarrow m - 1 = 6 \Rightarrow m = 7\) 3. \(3 = k \cdot (-2n) \Rightarrow 3 = 2 \cdot (-2n) \Rightarrow 3 = -4n \Rightarrow n = -\frac{3}{4}\) Vậy, các giá trị của \(m\) và \(n\) là: \[ m = 7 \] \[ n = -\frac{3}{4} \] Do đó, đáp án đúng là: A. \(m = 7; n = -\frac{3}{4}\) Câu 12. Để tìm số giá trị của \( m \) sao cho \( |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}| \), ta làm như sau: Bước 1: Tính độ dài của véc tơ \(\overrightarrow{u}\): \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] Bước 2: Tính độ dài của véc tơ \(\overrightarrow{v}\): \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{m^2 + 2^2 + (m+1)^2} = \sqrt{m^2 + 4 + (m^2 + 2m + 1)} = \sqrt{2m^2 + 2m + 5} \] Bước 3: Đặt điều kiện \( |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}| \): \[ 3 = \sqrt{2m^2 + 2m + 5} \] Bước 4: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ 9 = 2m^2 + 2m + 5 \] Bước 5: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai: \[ 2m^2 + 2m + 5 - 9 = 0 \] \[ 2m^2 + 2m - 4 = 0 \] Bước 6: Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ m^2 + m - 2 = 0 \] Bước 7: Giải phương trình bậc hai \( m^2 + m - 2 = 0 \) bằng phương pháp phân tích: \[ m^2 + m - 2 = (m + 2)(m - 1) = 0 \] Bước 8: Tìm nghiệm của phương trình: \[ m + 2 = 0 \Rightarrow m = -2 \] \[ m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1 \] Vậy có hai giá trị của \( m \) thỏa mãn điều kiện \( |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}| \), đó là \( m = -2 \) và \( m = 1 \). Đáp án đúng là: C. 2. Câu 13. Để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, ta phải tìm các giá trị của \( m \) và \( n \) sao cho tồn tại một số thực \( k \) khác 0 thỏa mãn: \[ \overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b} \] Tức là: \[ (2; m-1; 3) = k \cdot (1; 3; -2n) \] Ta có hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} 2 = k \\ m - 1 = 3k \\ 3 = -2nk \end{cases} \] Thay \( k = 2 \) vào các phương trình còn lại: \[ \begin{cases} m - 1 = 3 \cdot 2 \\ 3 = -2n \cdot 2 \end{cases} \] Giải các phương trình này: \[ \begin{cases} m - 1 = 6 \\ 3 = -4n \end{cases} \] \[ \begin{cases} m = 7 \\ n = -\frac{3}{4} \end{cases} \] Vậy, để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, ta cần \( m = 7 \) và \( n = -\frac{3}{4} \). Đáp số: \( m = 7 \) và \( n = -\frac{3}{4} \).