Xét tính đơn điêu cua BTVN Xét tính đơn điệu của,$a)~y=x^3-8x$

Question

Xét tính đơn điêu  cua BTVN Xét tính đơn điệu của,$a)~y=x^3-8x$

Accepted Answer

Để xét tính đơn điệu của hàm số $ y = x^3 - 8x $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.
$$ y&#x27; = \frac{d}{dx}(x^3 - 8x) = 3x^2 - 8 $$

Bước 2: Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $ để tìm các điểm tới hạn.
$$ 3x^2 - 8 = 0 $$
$$ 3x^2 = 8 $$
$$ x^2 = \frac{8}{3} $$
$$ x = \pm \sqrt{\frac{8}{3}} $$
$$ x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3} $$

Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
Các khoảng cần xét là $ (-\infty, -\frac{2\sqrt{6}}{3}) $, $ (-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}) $, và $ (\frac{2\sqrt{6}}{3}, +\infty) $.

- Trên khoảng $ (-\infty, -\frac{2\sqrt{6}}{3}) $:
  Chọn $ x = -2 $:
  $$ y&#x27; = 3(-2)^2 - 8 = 3(4) - 8 = 12 - 8 = 4 > 0 $$
  Hàm số đồng biến trên khoảng này.

- Trên khoảng $ (-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}) $:
  Chọn $ x = 0 $:
  $$ y&#x27; = 3(0)^2 - 8 = -8 < 0 $$
  Hàm số nghịch biến trên khoảng này.

- Trên khoảng $ (\frac{2\sqrt{6}}{3}, +\infty) $:
  Chọn $ x = 2 $:
  $$ y&#x27; = 3(2)^2 - 8 = 3(4) - 8 = 12 - 8 = 4 > 0 $$
  Hàm số đồng biến trên khoảng này.

Kết luận:
Hàm số $ y = x^3 - 8x $ đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -\frac{2\sqrt{6}}{3}) $ và $ (\frac{2\sqrt{6}}{3}, +\infty) $, và nghịch biến trên khoảng $ (-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}) $.