giúp tuii vớiiiiiii Câu 20: Giá trị của giới hạn $\lim\frac1{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n^2+4}}$ là:,B. 0. $C.~-\infty.$ $D.~+\infty.$,A. 1.

Question

Accepted Answer

Câu 20:
Để tính giới hạn của $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 + 4}}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức trong giới hạn.
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 + 4}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 + 4}} \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 + 4}}{\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 + 4}}
$$

Bước 2: Nhân tử liên hợp vào tử và mẫu.
$$
= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 + 4}}{(n^2 + 2) - (n^2 + 4)}
$$

Bước 3: Đơn giản hóa biểu thức ở mẫu.
$$
= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 + 4}}{-2}
$$

Bước 4: Chia cả tử và mẫu cho n để dễ dàng tìm giới hạn khi n tiến đến vô cùng.
$$
= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} + \sqrt{1 + \frac{4}{n^2}}}{-\frac{2}{n}}
$$

Bước 5: Tìm giới hạn của từng thành phần trong biểu thức.
$$
= \frac{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 + 0}}{-0} = \frac{1 + 1}{0} = \frac{2}{0}
$$

Khi n tiến đến vô cùng, biểu thức $\frac{2}{0}$ cho thấy giới hạn tiến đến $-\infty$ vì mẫu số tiến đến 0 từ phía âm.

Vậy giá trị của giới hạn là:
$$
\boxed{-\infty}
$$