giúp em giải với ạ

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biểu thức bên trong căn bậc hai. \[ f(x) = 5^{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+1)^2}}} \] Bước 2: Tìm giá trị của biểu thức \( 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+1)^2} \). \[ 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+1)^2} = \left( \frac{x(x+1)}{x(x+1)} \right)^2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+1)^2} \] \[ = \frac{x^2(x+1)^2 + (x+1)^2 + x^2}{x^2(x+1)^2} \] \[ = \frac{x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1}{x^2(x+1)^2} \] \[ = \frac{(x^2 + x + 1)^2}{x^2(x+1)^2} \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu. \[ f(x) = 5^{\sqrt{\frac{(x^2 + x + 1)^2}{x^2(x+1)^2}}} \] \[ = 5^{\frac{x^2 + x + 1}{x(x+1)}} \] Bước 4: Nhân liên tiếp các giá trị từ \( f(1) \) đến \( f(2024) \). \[ f(1) \cdot f(2) \cdots f(2024) = 5^{\frac{1^2 + 1 + 1}{1 \cdot 2}} \cdot 5^{\frac{2^2 + 2 + 1}{2 \cdot 3}} \cdots 5^{\frac{2024^2 + 2024 + 1}{2024 \cdot 2025}} \] \[ = 5^{\left(\frac{3}{2} + \frac{7}{6} + \cdots + \frac{2024^2 + 2024 + 1}{2024 \cdot 2025}\right)} \] Bước 5: Tính tổng các phân số trong mũ. \[ \sum_{k=1}^{2024} \frac{k^2 + k + 1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{2024} \left(1 + \frac{1}{k(k+1)}\right) \] \[ = \sum_{k=1}^{2024} 1 + \sum_{k=1}^{2024} \frac{1}{k(k+1)} \] \[ = 2024 + \sum_{k=1}^{2024} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) \] \[ = 2024 + \left(1 - \frac{1}{2025}\right) \] \[ = 2024 + \frac{2024}{2025} \] \[ = \frac{2024 \cdot 2025 + 2024}{2025} \] \[ = \frac{2024 \cdot 2026}{2025} \] Bước 6: Kết luận. \[ f(1) \cdot f(2) \cdots f(2024) = 5^{\frac{2024 \cdot 2026}{2025}} \] \[ \Rightarrow m = 2024 \cdot 2026, \quad n = 2025 \] Bước 7: Tính \( m - n^2 \). \[ m - n^2 = 2024 \cdot 2026 - 2025^2 \] \[ = 2024 \cdot 2026 - (2024 + 1)^2 \] \[ = 2024 \cdot 2026 - (2024^2 + 2 \cdot 2024 + 1) \] \[ = 2024 \cdot 2026 - 2024^2 - 2 \cdot 2024 - 1 \] \[ = 2024 \cdot (2026 - 2024) - 2 \cdot 2024 - 1 \] \[ = 2024 \cdot 2 - 2 \cdot 2024 - 1 \] \[ = 4048 - 4048 - 1 \] \[ = -1 \] Đáp số: \( m - n^2 = -1 \). Câu 2. Để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{2m+1-x}} + \log_3 \sqrt{x-m}$ xác định trên khoảng $(2;3)$, ta cần đảm bảo rằng các biểu thức trong hàm số đều có nghĩa trên khoảng này. 1. Xét điều kiện của $\frac{1}{\sqrt{2m+1-x}}$: - Biểu thức $\sqrt{2m+1-x}$ phải lớn hơn 0. - Điều này dẫn đến: $2m + 1 - x > 0$ hay $x < 2m + 1$. 2. Xét điều kiện của $\log_3 \sqrt{x-m}$: - Biểu thức $\sqrt{x-m}$ phải lớn hơn 0. - Điều này dẫn đến: $x - m > 0$ hay $x > m$. 3. Xác định điều kiện trên khoảng $(2;3)$: - Để hàm số xác định trên $(2;3)$, ta cần $2 < x < 3$. - Kết hợp với điều kiện $x < 2m + 1$, ta có: $3 < 2m + 1$ hay $2m > 2$ hay $m > 1$. - Kết hợp với điều kiện $x > m$, ta có: $2 > m$. Do đó, ta có hai điều kiện: \[ 1 < m < 2 \] 4. Tìm các giá trị nguyên của \( m \): - Trong khoảng \( 1 < m < 2 \), chỉ có giá trị nguyên duy nhất là \( m = 1 \). 5. Tổng tất cả các giá trị nguyên của \( m \): - Tổng các giá trị nguyên của \( m \) là \( 1 \). Đáp số: \[ \boxed{1} \]