Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và AC. A. 90 độ B. 120 độ C. 60 độ D. 30 độ

Trước tiên, ta xác định các điểm và vectơ liên quan trong tứ diện OABC. - Gọi O là gốc tọa độ. - Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC, ta có thể chọn hệ tọa độ sao cho: - A(1, 0, 0) - B(0, 1, 0) - C(0, 0, 1) - M là trung điểm của AB, nên tọa độ của M là: \[ M\left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \] - Vectơ OM: \[ \overrightarrow{OM} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \] - Vectơ AC: \[ \overrightarrow{AC} = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1) \] Tiếp theo, ta tính tích vô hướng của hai vectơ OM và AC: \[ \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC} = \left(\frac{1}{2}\right)(-1) + \left(\frac{1}{2}\right)(0) + (0)(1) = -\frac{1}{2} \] Ta cũng cần tính độ dài của hai vectơ OM và AC: \[ |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] Góc giữa hai vectơ OM và AC được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{OM}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \sqrt{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2} \] Do đó: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ OM và AC là 120 độ. Đáp án đúng là: B. 120 độ.