Giải giúp tôi

Câu 12: Để tìm khoảng cách từ điểm \( M(2; -1) \) đến tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = 2x - 1 + \frac{3}{x+3} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Hàm số đã cho là \( y = 2x - 1 + \frac{3}{x+3} \). - Phần \( 2x - 1 \) là một đường thẳng, và phần \( \frac{3}{x+3} \) là một phân thức có tử số bậc thấp hơn mẫu số. Do đó, tiệm cận xiên của hàm số chính là đường thẳng \( y = 2x - 1 \). Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm \( M(2; -1) \) đến đường thẳng \( y = 2x - 1 \) Phương trình đường thẳng \( y = 2x - 1 \) có dạng tổng quát là \( Ax + By + C = 0 \) với \( A = 2 \), \( B = -1 \), \( C = -1 \). Công thức tính khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \) là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Thay \( M(2, -1) \) vào công thức, ta có: \[ d = \frac{|2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \] \[ = \frac{|4 + 1 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} \] \[ = \frac{4}{\sqrt{5}} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(2; -1) \) đến tiệm cận xiên của đồ thị là \( \frac{4}{\sqrt{5}} \). Kết luận: Đáp án đúng là \( B. \frac{4}{\sqrt{5}} \). Câu 1: Để giải quyết các câu hỏi này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \). a) Hàm số \( y = f(x) \) có 4 điểm cực trị Hàm số \( y = f(x) \) có cực trị khi \( f'(x) = 0 \) và đổi dấu. Quan sát đồ thị \( y = f'(x) \), ta thấy: - \( f'(x) = 0 \) tại 4 điểm: \( x = -3, x = -1, x = 1, x = 3 \). - Tại các điểm này, \( f'(x) \) đổi dấu. Vậy hàm số \( y = f(x) \) có 4 điểm cực trị. Đúng. b) Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \((-∞; -2)\) Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến khi \( f'(x) > 0 \). - Trên khoảng \((-∞; -3)\), \( f'(x) < 0 \). - Trên khoảng \((-3; -2)\), \( f'(x) > 0 \). Vậy hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \((-3; -2)\), không phải \((-∞; -2)\). Sai. c) Hàm số \( g(x) = f(x^2) \) đồng biến trên khoảng \((\sqrt{3}; +∞)\) Xét hàm số \( g(x) = f(x^2) \), ta có: - \( g'(x) = 2x f'(x^2) \). Hàm số \( g(x) \) đồng biến khi \( g'(x) > 0 \). - Trên khoảng \((\sqrt{3}; +∞)\), \( x > 0 \) và \( f'(x^2) > 0 \) (vì \( x^2 > 3 \) và \( f'(x) > 0 \) trên \((3; +∞)\)). Vậy hàm số \( g(x) \) đồng biến trên khoảng \((\sqrt{3}; +∞)\). Đúng. d) Hàm số \( g(x) = f(x^2) \) có 5 cực trị Hàm số \( g(x) = f(x^2) \) có cực trị khi \( g'(x) = 0 \). - \( g'(x) = 2x f'(x^2) = 0 \) khi \( x = 0 \) hoặc \( f'(x^2) = 0 \). Từ \( f'(x^2) = 0 \), ta có \( x^2 = -3, -1, 1, 3 \). Chỉ có \( x^2 = 1, 3 \) có nghiệm thực là \( x = \pm 1, \pm \sqrt{3} \). Vậy hàm số \( g(x) \) có 5 điểm cực trị: \( x = 0, \pm 1, \pm \sqrt{3} \). Đúng. Tóm lại: - a) Đúng - b) Sai - c) Đúng - d) Đúng Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần của đề bài và đưa ra các lập luận phù hợp. a) \(\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{SB}, \overrightarrow{SC}, \overrightarrow{SD}\) là bốn vectơ đồng phẳng Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều, nên các điểm \(A, B, C, D\) nằm trên cùng một mặt phẳng đáy. Do đó, các vectơ \(\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{SB}, \overrightarrow{SC}, \overrightarrow{SD}\) đều có điểm đầu là \(S\) và điểm cuối là các điểm nằm trên mặt phẳng đáy \(ABCD\). Điều này chứng tỏ rằng bốn vectơ này đồng phẳng. b) \(|\overrightarrow{SA}| = |\overrightarrow{SB}| = |\overrightarrow{SC}| = |\overrightarrow{SD}|\) Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều, nên các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau. Do đó, độ dài các đoạn \(SA, SB, SC, SD\) đều bằng nhau, tức là \(|\overrightarrow{SA}| = |\overrightarrow{SB}| = |\overrightarrow{SC}| = |\overrightarrow{SD}|\). c) Độ lớn của trọng lực tác động lên đèn chùm bằng 50N Trọng lực tác động lên đèn chùm được tính bằng công thức: \[ \overline{P} = m \cdot \overline{g} \] Với \(m = 5 \, \text{kg}\) và \(\overline{g} = 10 \, \text{m/s}^2\), ta có: \[ \overline{P} = 5 \cdot 10 = 50 \, \text{N} \] Vậy độ lớn của trọng lực tác động lên đèn chùm là 50N. d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi dây xích bằng \(\frac{25\sqrt{3}}{2} \, \text{N}\) Để tính lực căng trong mỗi sợi dây xích, ta cần xem xét cân bằng lực tại điểm \(S\). Vì hình chóp là đều và góc \(\angle ASC = 60^\circ\), các lực căng trong các dây xích sẽ phân bố đều. Giả sử lực căng trong mỗi dây là \(T\). Do tính đối xứng và cân bằng lực, tổng hợp lực căng theo phương thẳng đứng phải cân bằng với trọng lực: \[ 4T \cdot \cos(30^\circ) = \overline{P} \] Với \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có: \[ 4T \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 50 \] \[ 2T\sqrt{3} = 50 \] \[ T = \frac{50}{2\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{3} \] Tuy nhiên, có một nhầm lẫn trong tính toán ban đầu, vì đề bài yêu cầu kết quả là \(\frac{25\sqrt{3}}{2}\). Do đó, cần kiểm tra lại các bước tính toán hoặc điều kiện đề bài để đảm bảo tính chính xác. Nhưng theo cách tính trên, kết quả là \(\frac{25\sqrt{3}}{3}\). Vậy, các kết luận a, b, c là đúng, còn d cần kiểm tra lại điều kiện hoặc cách tính để khớp với kết quả yêu cầu. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Để kiểm tra xem bốn điểm có đồng phẳng hay không, ta cần tính thể tích của tứ diện tạo bởi bốn điểm này. Nếu thể tích bằng 0, thì bốn điểm đồng phẳng. Thể tích của tứ diện \(ABCD\) được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} x_B - x_A & x_C - x_A & x_D - x_A \\ y_B - y_A & y_C - y_A & y_D - y_A \\ z_B - z_A & z_C - z_A & z_D - z_A \\ \end{vmatrix} \right| \] Thay tọa độ các điểm vào, ta có: \[ V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 1 - 0 & 3 - 0 & -2 - 0 \\ 0 - (-2) & 1 - (-2) & -2 - (-2) \\ -2 - 1 & -2 - 1 & -1 - 1 \\ \end{vmatrix} \right| \] \[ = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \\ -3 & -3 & -2 \\ \end{vmatrix} \right| \] Tính định thức: \[ = \frac{1}{6} \left( 1 \cdot (3 \cdot (-2) - 0 \cdot (-3)) - 3 \cdot (2 \cdot (-2) - 0 \cdot (-3)) + (-2) \cdot (2 \cdot (-3) - 3 \cdot (-3)) \right) \] \[ = \frac{1}{6} \left( 1 \cdot (-6) - 3 \cdot (-4) - 2 \cdot (-6 + 9) \right) \] \[ = \frac{1}{6} \left( -6 + 12 - 6 \right) = \frac{1}{6} \cdot 0 = 0 \] Vì thể tích bằng 0, nên bốn điểm \(A, B, C, D\) đồng phẳng. Do đó, mệnh đề a) là sai. b) Tam giác ACD là tam giác vuông tại A Để kiểm tra tam giác \(ACD\) có vuông tại \(A\) hay không, ta cần kiểm tra tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AD}\). Tính các vectơ: \[ \overrightarrow{AC} = (3 - 0, 1 - (-2), -2 - 1) = (3, 3, -3) \] \[ \overrightarrow{AD} = (-2 - 0, -2 - (-2), -1 - 1) = (-2, 0, -2) \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 3 \cdot (-2) + 3 \cdot 0 + (-3) \cdot (-2) = -6 + 0 + 6 = 0 \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vectơ \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AD}\) vuông góc, tức là tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\). Do đó, mệnh đề b) là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) sai: Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. - Mệnh đề b) đúng: Tam giác ACD là tam giác vuông tại A.