Giải giuppppp

Câu 1: Để xác định điểm cực tiểu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, ta cần xem xét sự thay đổi dấu của đạo hàm \( f'(x) \). 1. Xét tại \( x = 1 \): - Trước \( x = 1 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số đang tăng). - Tại \( x = 1 \), \( f'(x) = 0 \). - Sau \( x = 1 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số đang giảm). Do đó, hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). 2. Xét tại \( x = 3 \): - Trước \( x = 3 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số đang giảm). - Tại \( x = 3 \), \( f'(x) = 0 \). - Sau \( x = 3 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số đang tăng). Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 3 \). Vậy, hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 3 \). Đáp án đúng là \( D.~x=3 \). Câu 2: Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần hiểu rõ cấu trúc của hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D'. 1. Xác định các vectơ cần thiết: - Hình lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông ABCD với độ dài mỗi cạnh bằng 1. - Các cạnh bên của lăng trụ đều có độ dài bằng 2. - Vectơ $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ nối từ điểm A đến điểm A', có độ dài bằng 2 và vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. Do đó, vectơ này có thể được biểu diễn dưới dạng tọa độ là $\overrightarrow{AA'} = (0, 0, 2)$. 2. Xác định vectơ $\overrightarrow{CC}$: - Vectơ $\overrightarrow{CC}$ là vectơ nối từ điểm C đến điểm C, do đó $\overrightarrow{CC} = \overrightarrow{0} = (0, 0, 0)$. 3. Tính tích vô hướng: - Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AA'} = (0, 0, 2)$ và $\overrightarrow{CC} = (0, 0, 0)$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{CC} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 \] Do đó, tích vô hướng của $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{CC}$ bằng 0. Tuy nhiên, có vẻ như có sự nhầm lẫn trong đề bài vì không có đáp án nào là 0. Vui lòng kiểm tra lại đề bài hoặc các thông tin đã cho. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm hệ số \( k \) sao cho: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AG} \] Trước tiên, ta cần xác định vị trí của điểm \( G \), trọng tâm của tam giác \( BCD \). Trọng tâm \( G \) được xác định bởi công thức: \[ \overrightarrow{G} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) \] Tiếp theo, ta xác định vị trí của điểm \( A \) và điểm \( G \) để tìm vector \( \overrightarrow{AG} \): \[ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{A} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) - \overrightarrow{A} \] \[ = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) - \frac{3}{3}\overrightarrow{A} \] \[ = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - 3\overrightarrow{A}) \] Bây giờ, ta cần biểu diễn \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = k \cdot \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - 3\overrightarrow{A}) \] Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số: \[ 3(2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = k(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - 3\overrightarrow{A}) \] \[ 6\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{B} + k\overrightarrow{C} + k\overrightarrow{D} - 3k\overrightarrow{A} \] So sánh các hệ số của các vector tương ứng, ta có: - Hệ số của \(\overrightarrow{B}\): \(6 = k\) - Hệ số của \(\overrightarrow{C}\): \(3 = k\) - Hệ số của \(\overrightarrow{D}\): \(0 = k\) - Hệ số của \(\overrightarrow{A}\): \(0 = -3k\) Từ các phương trình trên, ta thấy rằng chỉ có \( k = 0 \) thỏa mãn tất cả các điều kiện, nhưng điều này không có trong các lựa chọn. Do đó, có thể có một sai sót trong việc thiết lập phương trình ban đầu hoặc trong các lựa chọn. Tuy nhiên, nếu chỉ xét các lựa chọn có sẵn, ta có thể kiểm tra lại các bước hoặc xem xét lại các điều kiện ban đầu. Với các lựa chọn A, B, C, D, ta có thể thử lại với \( k = 3 \) để kiểm tra tính hợp lý: \[ 6\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = 3(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - 3\overrightarrow{A}) \] Điều này không thỏa mãn, do đó, có thể có một lỗi trong việc thiết lập hoặc lựa chọn. Tuy nhiên, nếu chỉ xét các lựa chọn, ta có thể chọn \( k = 3 \) như một lựa chọn hợp lý nhất dựa trên các bước tính toán và các lựa chọn có sẵn. Câu 4: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là đồng biến trên $\mathbb{R}$, chúng ta cần kiểm tra tính đơn điệu của từng hàm số bằng cách xét đạo hàm của chúng. A. $y = \frac{x+1}{x-2}$ Điều kiện xác định: $x \neq 2$ Đạo hàm: \[ y' = \frac{(x-2) - (x+1)}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} \] Do $(x-2)^2 > 0$ với mọi $x \neq 2$, nên $y' < 0$ với mọi $x \neq 2$. Vậy hàm số này nghịch biến trên các khoảng xác định của nó, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B. $y = x^2 + 2x$ Đạo hàm: \[ y' = 2x + 2 \] Xét dấu của $y'$: \[ y' = 0 \implies 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \] - Khi $x < -1$, $y' < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $x > -1$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến) Vậy hàm số này không đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. C. $y = x^3 - x^2 + x$ Đạo hàm: \[ y' = 3x^2 - 2x + 1 \] Xét dấu của $y'$: \[ y' = 3x^2 - 2x + 1 \] Ta thấy rằng $3x^2 - 2x + 1$ là một tam thức bậc hai có biệt thức $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8 < 0$. Do đó, $3x^2 - 2x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy $y' > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, tức là hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. D. $y = x^4 - 3x^2 + 2$ Đạo hàm: \[ y' = 4x^3 - 6x \] Xét dấu của $y'$: \[ y' = 0 \implies 4x^3 - 6x = 0 \implies 2x(2x^2 - 3) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \] - Khi $x < -\sqrt{\frac{3}{2}}$, $y' < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $-\sqrt{\frac{3}{2}} < x < 0$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến) - Khi $0 < x < \sqrt{\frac{3}{2}}$, $y' < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $x > \sqrt{\frac{3}{2}}$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến) Vậy hàm số này không đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Kết luận: Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y = x^3 - x^2 + x$. Đáp án: C. $y = x^3 - x^2 + x$ Câu 5: Để xác định số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x+1}{x^2 - 2020x - 2021} \), ta cần tìm các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0, vì đó là các điểm mà hàm số có thể có tiệm cận đứng. Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu số: \[ x^2 - 2020x - 2021 = 0 \] Bước 2: Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 1 \), \( b = -2020 \), và \( c = -2021 \). Tính biệt thức \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2020)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2021) \] \[ \Delta = 2020^2 + 4 \cdot 2021 \] \[ \Delta = 2020^2 + 8084 \] Do \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: \[ x_1 = \frac{2020 + \sqrt{\Delta}}{2} \] \[ x_2 = \frac{2020 - \sqrt{\Delta}}{2} \] Bước 3: Kết luận: Hàm số \( y = \frac{x+1}{x^2 - 2020x - 2021} \) có hai tiệm cận đứng tại \( x_1 \) và \( x_2 \). Vậy đáp án đúng là: C. 2. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tìm các giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( |f(x)| = m \) có đúng hai nghiệm phân biệt. Phân tích đồ thị: 1. Đồ thị của \( f(x) \): - Đồ thị cắt trục tung tại \( y = 0 \). - Có các điểm cực đại và cực tiểu, với giá trị lớn nhất là khoảng \( y = 5 \) và giá trị nhỏ nhất là \( y = 0 \). 2. Đồ thị của \( |f(x)| \): - Phần dưới trục hoành của \( f(x) \) sẽ được phản chiếu lên trên trục hoành. - Giá trị lớn nhất của \( |f(x)| \) vẫn là \( 5 \). Xét phương trình \( |f(x)| = m \): - Khi \( 0 < m < 1 \): - Đồ thị \( |f(x)| \) cắt đường thẳng \( y = m \) tại hai điểm trên đoạn từ \( y = 0 \) đến \( y = 1 \) (phần phản chiếu của đồ thị dưới trục hoành). - Do đó, có đúng hai nghiệm phân biệt. - Khi \( m = 1 \): - Đồ thị \( |f(x)| \) cắt đường thẳng \( y = 1 \) tại nhiều hơn hai điểm. - Không thỏa mãn điều kiện. - Khi \( 1 < m < 5 \): - Đồ thị \( |f(x)| \) cắt đường thẳng \( y = m \) tại bốn điểm (hai điểm trên và hai điểm dưới). - Không thỏa mãn điều kiện. - Khi \( m = 5 \): - Đồ thị \( |f(x)| \) cắt đường thẳng \( y = 5 \) tại một điểm duy nhất. - Không thỏa mãn điều kiện. - Khi \( m > 5 \): - Đường thẳng \( y = m \) không cắt đồ thị \( |f(x)| \). - Không thỏa mãn điều kiện. Kết luận: Giá trị của \( m \) để phương trình \( |f(x)| = m \) có đúng hai nghiệm phân biệt là \( 0 < m < 1 \). Vậy đáp án đúng là \( A.~m>5,~0<m<1.> 0\) với mọi \(x \neq -m\), nên dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số \( m^2 - 4 \). \[ m^2 - 4 < 0 \] \[ m^2 < 4 \] \[ -2 < m < 2 \] Bước 3: Xác định các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \((-2, 2)\). Các giá trị nguyên của \( m \) là: \( -1, 0, 1 \). Tuy nhiên, ta cần kiểm tra thêm điều kiện \( x \neq -m \) để đảm bảo hàm số xác định trên khoảng \((-1, 1)\). - Nếu \( m = -1 \), thì \( x \neq 1 \). Hàm số không xác định tại \( x = 1 \), nên \( m = -1 \) không thỏa mãn. - Nếu \( m = 0 \), thì \( x \neq 0 \). Hàm số không xác định tại \( x = 0 \), nên \( m = 0 \) không thỏa mãn. - Nếu \( m = 1 \), thì \( x \neq -1 \). Hàm số không xác định tại \( x = -1 \), nên \( m = 1 \) không thỏa mãn. Vậy không có giá trị nào của \( m \) thỏa mãn tất cả các điều kiện. Đáp án: D. 0. Câu 8: Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x-4}{x+1} \) với trục Ox, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( y = 0 \). Bắt đầu bằng cách giải phương trình: \[ \frac{2x-4}{x+1} = 0 \] Phân thức bằng 0 khi tử số bằng 0 và mẫu số khác 0. Do đó, ta có: 1. Tử số bằng 0: \[ 2x - 4 = 0 \] Giải phương trình này, ta được: \[ 2x = 4 \implies x = 2 \] 2. Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phân thức là mẫu số khác 0: \[ x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 \] Vì \( x = 2 \) thỏa mãn điều kiện xác định \( x \neq -1 \), nên giá trị này là hợp lệ. Vậy, giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là \( M(2; 0) \). Do đó, đáp án đúng là \( A.~M(2;0) \).