khảo sát vẽ đồ thị hàm số y=2x^3-9x^2+12x

Để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \( y = 2x^3 - 9x^2 + 12x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = 2x^3 - 9x^2 + 12x \) là một đa thức bậc ba, do đó tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \). Bước 2: Tính đạo hàm Tính đạo hàm của hàm số để tìm các điểm cực trị và xét tính đơn điệu: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x) = 6x^2 - 18x + 12. \] Bước 3: Tìm các điểm cực trị Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ 6x^2 - 18x + 12 = 0. \] Chia cả hai vế cho 6, ta được: \[ x^2 - 3x + 2 = 0. \] Giải phương trình bậc hai này, ta có: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}. \] Vậy \( x = 1 \) hoặc \( x = 2 \). Bước 4: Xét dấu đạo hàm và tính đơn điệu - Với \( x < 1 \), chọn \( x = 0 \), ta có \( y'(0) = 12 > 0 \) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty, 1)\). - Với \( 1 < x < 2 \), chọn \( x = 1.5 \), ta có \( y'(1.5) = 6(1.5)^2 - 18(1.5) + 12 = -1.5 < 0 \) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((1, 2)\). - Với \( x > 2 \), chọn \( x = 3 \), ta có \( y'(3) = 6(3)^2 - 18(3) + 12 = 12 > 0 \) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((2, +\infty)\). Bước 5: Tính giá trị tại các điểm cực trị - Tại \( x = 1 \), \( y(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) = 5 \). Đây là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \), \( y(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) = 4 \). Đây là điểm cực tiểu. Bước 6: Tìm giới hạn tại vô cực - \(\lim_{x \to +\infty} y = +\infty\). - \(\lim_{x \to -\infty} y = -\infty\). Bước 7: Vẽ đồ thị Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số với các điểm đặc biệt: - Điểm cực đại: \( (1, 5) \). - Điểm cực tiểu: \( (2, 4) \). - Đồ thị đi qua gốc tọa độ \( (0, 0) \). Đồ thị hàm số có dạng hình chữ S, đi từ \(-\infty\) lên cực đại tại \( x = 1 \), sau đó xuống cực tiểu tại \( x = 2 \), và tiếp tục đi lên \(+\infty\).