Giúp mình vớii

Câu 2. Trước tiên, ta xác định các điểm và tính toán các đoạn thẳng liên quan trong tam giác đều ABC. 1. Xác định trọng tâm G: Trọng tâm G của tam giác đều ABC chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, tức là AG = 2/3 AD, trong đó D là trung điểm của BC. 2. Xác định điểm I: Điểm I là trung điểm của AG, do đó AI = IG = 1/2 AG. 3. Tính độ dài AG: Vì ABC là tam giác đều cạnh a, đường cao từ A đến BC cũng là đường trung tuyến và đường phân giác. Độ dài đường cao này là: \[ AD = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] Do đó, AG = 2/3 AD: \[ AG = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{3} a \] 4. Tính độ dài AI và IG: Vì I là trung điểm của AG: \[ AI = IG = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{3} a = \frac{\sqrt{3}}{6} a \] 5. Tính độ dài BI: Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong tam giác đều. Ta biết rằng B nằm trên cạnh AC và I nằm trên AG. Ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và trọng tâm để tính BI. Ta có: \[ BI^2 = AB^2 + AI^2 - 2 \cdot AB \cdot AI \cdot \cos(\angle BAI) \] Trong tam giác đều, góc BAI là 30° vì G là trọng tâm và chia góc A thành ba phần bằng nhau, mỗi phần là 30°. Thay các giá trị vào: \[ BI^2 = a^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{6} a \right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} a \cdot \cos(30^\circ) \] Biết rằng \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ BI^2 = a^2 + \frac{3}{36} a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ BI^2 = a^2 + \frac{1}{12} a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ BI^2 = a^2 + \frac{1}{12} a^2 - \frac{3}{6} a^2 \] \[ BI^2 = a^2 + \frac{1}{12} a^2 - \frac{1}{2} a^2 \] \[ BI^2 = a^2 + \frac{1}{12} a^2 - \frac{6}{12} a^2 \] \[ BI^2 = a^2 - \frac{5}{12} a^2 \] \[ BI^2 = \frac{7}{12} a^2 \] \[ BI = \sqrt{\frac{7}{12}} a = \frac{\sqrt{21}}{6} a \] Vậy độ dài của vectơ $\underline{BI}$ là: \[ BI = \frac{\sqrt{21}}{6} a \]