Câu 7. (1.0 điểm)

Tính chiều cao của một ngọn Hải đăng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị), biết tại hai điểm A, B cách nhau 24m, người ta nhìn thấy đỉnh của ngọn hải đăng với góc nâng lần lượt là 30° và 40° (hình vẽ).

Question

Câu 7. (1.0 điểm)

Tính chiều cao của một ngọn Hải đăng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị), biết tại hai điểm A, B cách nhau 24m, người ta nhìn thấy đỉnh của ngọn hải đăng với góc nâng lần lượt là 30° và 40° (hình vẽ).

NguyenVu · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
cot30^{0} =\frac{AP}{DP}\
\Longrightarrow \ AP=DPcot30^{0} \ \
cot40^{0} =\frac{BP}{DP}\
ightarrow BP=DPcot40^{0}
\end{array}$

Ta có:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
AB=AP−BP\
\Longrightarrow 24=DP\left( cot30^{0} −cot40^{0} ight)\
\Longrightarrow DP=\frac{24}{\left( cot30^{0} −cot40^{0} ight)}\
\Longrightarrow \ DP=\ 44( m)
\end{array}$

Timi · Answer

Câu 7.
Để tính chiều cao của ngọn hải đăng, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác và tỉ số lượng giác. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. Xác định các đại lượng đã biết:
   - Khoảng cách giữa hai điểm A và B là 24m.
   - Góc nâng từ điểm A là 30°.
   - Góc nâng từ điểm B là 40°.

2. Gọi chiều cao của ngọn hải đăng là $ h $ mét.
   - Gọi khoảng cách từ điểm A đến chân ngọn hải đăng là $ x $ mét.
   - Khoảng cách từ điểm B đến chân ngọn hải đăng là $ 24 - x $ mét.

3. Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông:
   - Trong tam giác ACD (với C là đỉnh hải đăng và D là chân hải đăng):
     $$
     \tan(30^\circ) = \frac{h}{x}
     $$
     $$
     \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{x}{\sqrt{3}}
     $$

- Trong tam giác BCD:
     $$
     \tan(40^\circ) = \frac{h}{24 - x}
     $$
     $$
     \tan(40^\circ) = \frac{h}{24 - x} \quad \Rightarrow \quad h = (24 - x) \cdot \tan(40^\circ)
     $$

4. Bằng cách đặt hai biểu thức của $ h $ bằng nhau:
   $$
   \frac{x}{\sqrt{3}} = (24 - x) \cdot \tan(40^\circ)
   $$

5. Giải phương trình để tìm $ x $:
   $$
   x = (24 - x) \cdot \sqrt{3} \cdot \tan(40^\circ)
   $$
   $$
   x = 24 \cdot \sqrt{3} \cdot \tan(40^\circ) - x \cdot \sqrt{3} \cdot \tan(40^\circ)
   $$
   $$
   x + x \cdot \sqrt{3} \cdot \tan(40^\circ) = 24 \cdot \sqrt{3} \cdot \tan(40^\circ)
   $$
   $$
   x \cdot (1 + \sqrt{3} \cdot \tan(40^\circ)) = 24 \cdot \sqrt{3} \cdot \tan(40^\circ)
   $$
   $$
   x = \frac{24 \cdot \sqrt{3} \cdot \tan(40^\circ)}{1 + \sqrt{3} \cdot \tan(40^\circ)}
   $$

6. Tính giá trị của $ x $:
   - Biết rằng $\tan(40^\circ) \approx 0.8391$ và $\sqrt{3} \approx 1.732$:
   $$
   x = \frac{24 \cdot 1.732 \cdot 0.8391}{1 + 1.732 \cdot 0.8391}
   $$
   $$
   x = \frac{34.2144}{1 + 1.4506}
   $$
   $$
   x = \frac{34.2144}{2.4506} \approx 14
   $$

7. Tính chiều cao $ h $:
   $$
   h = \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{14}{1.732} \approx 8
   $$

Vậy chiều cao của ngọn hải đăng là khoảng 8 mét (làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 7. (1.0 điểm) Tính chiều cao của một ngọn Hải đăng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị), biết tại hai điểm A, B cách nhau 24m, người ta nhìn thấy đỉnh của ngọn hải đăng với góc nâng lần lượt là 30°...