cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Để chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp và các tính chất liên quan đến trung điểm và đường cao. 1. Xác định các trung điểm: - M là trung điểm của AB. - N là trung điểm của BC. - P là trung điểm của CD. - Q là trung điểm của DA. 2. Tính chất của trung tuyến trong tam giác: - Trong tam giác ABC, M và N là trung điểm của AB và BC, nên MN song song với AC và MN = $\frac{1}{2}$AC. - Trong tam giác CDA, P và Q là trung điểm của CD và DA, nên PQ song song với AC và PQ = $\frac{1}{2}$AC. 3. Tính chất của đường trung bình trong tam giác: - Trong tam giác ABD, M và Q là trung điểm của AB và DA, nên MQ song song với BD và MQ = $\frac{1}{2}$BD. - Trong tam giác BCD, N và P là trung điểm của BC và CD, nên NP song song với BD và NP = $\frac{1}{2}$BD. 4. Tứ giác MNPQ là hình bình hành: - Vì MN song song với PQ và MQ song song với NP, nên tứ giác MNPQ là hình bình hành. 5. Tính chất của hình bình hành nội tiếp: - Một hình bình hành nội tiếp được nếu và chỉ nếu nó là hình thang cân (tức là hai đường chéo bằng nhau). - Trong trường hợp này, vì AC vuông góc với BD, nên các đường chéo của tứ giác MNPQ cũng vuông góc với nhau. 6. Kết luận: - Tứ giác MNPQ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau, do đó nó là hình thang cân và nội tiếp được trong một đường tròn. Vậy, bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.