Cho các câu sau

Câu 12. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề để xác định mệnh đề đúng. A. \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \) Theo Định lý Cosin trong tam giác ABC, ta có: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Mệnh đề này đúng. B. \( a^2 = b^2 + c^2 + 2b \cos A \) Theo Định lý Cosin, ta thấy rằng: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Mệnh đề này sai vì nó thêm dấu "+" trước \( 2b \cos A \). C. \( a^2 + b^2 + c^2 - 2k \cos B \) Mệnh đề này không đúng vì nó không tuân theo bất kỳ công thức nào liên quan đến Định lý Cosin. D. \( a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos B \) Theo Định lý Cosin, ta thấy rằng: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Mệnh đề này sai vì nó thêm dấu "+" trước \( 2bc \cos B \). Kết luận: Mệnh đề đúng là: A. \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \) Đáp án: A. Câu 1. Để kiểm tra xem mỗi điểm có thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y - 1 < 0\) hay không, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào bất phương trình và kiểm tra điều kiện. a) Kiểm tra điểm \(O(0;0)\): \[2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 1 = -1 < 0\] Vậy điểm \(O\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. b) Kiểm tra điểm \(N(-1;0)\): \[2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 - 1 = -2 - 1 = -3 < 0\] Vậy điểm \(N\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. c) Kiểm tra điểm \(P(-4;2)\): \[2 \cdot (-4) + 3 \cdot 2 - 1 = -8 + 6 - 1 = -3 < 0\] Vậy điểm \(P\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. d) Kiểm tra điểm \(M(2;-1)\): \[2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) - 1 = 4 - 3 - 1 = 0 \not< 0\] Vậy điểm \(M\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Tóm lại: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi. a) \( A \cap B = (-3;1) \) - Đoạn \( A = [-5;1] \) - Đoạn \( B = (-3;2) \) Giao của hai đoạn này là phần chung giữa chúng: \[ A \cap B = [-5;1] \cap (-3;2) = (-3;1) \] Vậy, phần a đúng. b) \( A \cup B = [-3;2) \) - Đoạn \( A = [-5;1] \) - Đoạn \( B = (-3;2) \) Hợp của hai đoạn này là toàn bộ phần bao gồm cả hai đoạn: \[ A \cup B = [-5;1] \cup (-3;2) = [-5;2) \] Vậy, phần b sai vì \( A \cup B = [-5;2) \), không phải \( [-3;2) \). c) \( C_6(A \cup B) = (-\infty;-5) \cup (I;+\infty) \) - Đoạn \( A \cup B = [-5;2) \) Bổ sung của đoạn này trong khoảng từ -6 đến +∞ là: \[ C_{[-6;+\infty)}(A \cup B) = (-\infty;-5) \cup [2;+\infty) \] Vậy, phần c sai vì \( C_{[-6;+\infty)}(A \cup B) = (-\infty;-5) \cup [2;+\infty) \), không phải \( (-\infty;-5) \cup (I;+\infty) \). d) \( A \setminus B = [-5;-3] \) - Đoạn \( A = [-5;1] \) - Đoạn \( B = (-3;2) \) Hiệu của hai đoạn này là phần của \( A \) mà không thuộc \( B \): \[ A \setminus B = [-5;1] \setminus (-3;2) = [-5;-3] \] Vậy, phần d đúng. Kết luận: - Phần a đúng. - Phần b sai. - Phần c sai. - Phần d đúng. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một. a) Tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Ta kiểm tra điều kiện tam giác ABC có ba góc đều nhọn bằng cách so sánh tổng bình phương hai cạnh nhỏ hơn với bình phương cạnh lớn nhất: - \( AB^2 + AC^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 \) - \( BC^2 = 7^2 = 49 \) Vì \( 89 > 49 \), nên tam giác ABC có ba góc đều nhọn. b) Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A bằng \(\sqrt{129}\). Công thức tính độ dài đường trung tuyến \( m_a \) từ đỉnh A trong tam giác ABC là: \[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \] Ở đây, \( a = BC = 7 \), \( b = AC = 8 \), \( c = AB = 5 \): \[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2(8^2) + 2(5^2) - 7^2} \] \[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2(64) + 2(25) - 49} \] \[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{128 + 50 - 49} \] \[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{129} \] Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A là \(\frac{\sqrt{129}}{2}\), không phải \(\sqrt{129}\). c) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng \(\frac{7\sqrt{3}}{3}\). Bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) được tính bằng công thức: \[ r = \frac{A}{s} \] Trong đó \( A \) là diện tích tam giác và \( s \) là nửa chu vi tam giác. Chu vi tam giác \( P = AB + AC + BC = 5 + 8 + 7 = 20 \) Nửa chu vi \( s = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) Diện tích tam giác \( A \) được tính bằng công thức Heron: \[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] \[ A = \sqrt{10(10-7)(10-8)(10-5)} \] \[ A = \sqrt{10 \times 3 \times 2 \times 5} \] \[ A = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \] Bán kính đường tròn nội tiếp: \[ r = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3} \] Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC không phải là \(\frac{7\sqrt{3}}{3}\). d) Diện tích tam giác ABC bằng \(10\sqrt{3}\). Chúng ta đã tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron ở phần trên: \[ A = 10\sqrt{3} \] Vậy diện tích tam giác ABC đúng là \(10\sqrt{3}\). Kết luận: - Đáp án đúng là: d) Diện tích tam giác ABC bằng \(10\sqrt{3}\). Câu 4. Để kiểm tra xem mỗi cặp số liệu có thuộc tập nghiệm của hệ bất phương trình hay không, chúng ta sẽ lần lượt thay các giá trị vào hệ bất phương trình và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ đó hay không. a) Kiểm tra cặp số $(1, 1)$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $1 + 1 > 0$ (đúng) - Thay vào bất phương trình thứ hai: $2 \times 1 + 5 \times 1 < 0$ (sai) Vậy $(1, 1) \notin S$. b) Kiểm tra cặp số $(1, -\frac{1}{2})$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $1 + (-\frac{1}{2}) > 0$ (đúng) - Thay vào bất phương trình thứ hai: $2 \times 1 + 5 \times (-\frac{1}{2}) < 0$ (đúng) Vậy $(1, -\frac{1}{2}) \in S$. c) Kiểm tra cặp số $(-\frac{1}{2}, \frac{2}{5})$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $-\frac{1}{2} + \frac{2}{5} > 0$ (sai) Vậy $(-\frac{1}{2}, \frac{2}{5}) \notin S$. d) Kiểm tra cặp số $(-1, -1)$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $-1 + (-1) > 0$ (sai) Vậy $(-1, -1) \notin S$. Tóm lại: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai Đáp án: b) Đúng Câu 1. Câu a: $2+2=5:$ Điều này là sai vì $2+2=4$. Câu b: $10^5\geq9^0;$ Điều này là đúng vì $10^5 = 100000$ và $9^0 = 1$, do đó $100000 \geq 1$. Câu e: Hãy chứng tỏ $\sqrt{2}$ là số vô tỉ; Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ, tức là có thể viết dưới dạng phân số tối giản $\frac{a}{b}$ với $a$ và $b$ là các số nguyên và $b \neq 0$. Do đó, ta có: $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ Nhân cả hai vế với $b$, ta được: $a = b\sqrt{2}$ Nhân cả hai vế với $\sqrt{2}$, ta được: $a\sqrt{2} = 2b$ Vì $a$ và $b$ là các số nguyên, nên $a\sqrt{2}$ phải là số nguyên. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ. Do đó, $\sqrt{2}$ là số vô tỉ. Câu đ: $2^{44}$ là số rất lớn. Điều này là đúng vì $2^{44}$ là một số rất lớn, cụ thể là $2^{44} = 17592186044416$. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tập hợp và sơ đồ Venn. Bước 1: Xác định tổng số ngày trong tháng 3. Tháng 3 có 31 ngày. Bước 2: Xác định số ngày có mưa và có sương mù. - Số ngày có mưa: 14 ngày - Số ngày có sương mù: 15 ngày - Số ngày có cả mưa và sương mù: 10 ngày Bước 3: Tính số ngày có mưa hoặc có sương mù. Số ngày có mưa hoặc có sương mù = Số ngày có mưa + Số ngày có sương mù - Số ngày có cả mưa và sương mù = 14 + 15 - 10 = 19 ngày Bước 4: Tính số ngày không có mưa và không có sương mù. Số ngày không có mưa và không có sương mù = Tổng số ngày trong tháng 3 - Số ngày có mưa hoặc có sương mù = 31 - 19 = 12 ngày Vậy, trong tháng 3 đó có 12 ngày không có mưa và không có sương mù. Câu 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng $ax + by > c$ hoặc $ax + by < c$, trong đó $a$, $b$, và $c$ là các hằng số, và $x$, $y$ là các ẩn số. Ta sẽ kiểm tra từng bất phương trình: 1. Bất phương trình $(1):~x + 2 \leq 0$ - Đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì chỉ có một ẩn số là $x$. 2. Bất phương trình $(2):~2x + 3y > 1$ - Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có hai ẩn số là $x$ và $y$. 3. Bất phương trình $(3):~3x - 5xy > 2$ - Đây là bất phương trình bậc hai hai ẩn vì có chứa cả $x$ và $y$, và có hạng tử $xy$ là tích của hai ẩn số. 4. Bất phương trình $(4):~2y - 5 < 0$ - Đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì chỉ có một ẩn số là $y$. Từ đó, ta thấy chỉ có bất phương trình $(2)$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy có 1 bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Câu 4. Gọi số bình hoa loại nhỏ là x (x là số tự nhiên) Gọi số bình hoa loại lớn là y (y là số tự nhiên) Theo đề bài ta có: x + y ≥ 12 (1) x + $\frac{3}{2}$y ≤ 15 (2) Từ (1) suy ra y ≥ 12 - x (3) Thay (3) vào (2) ta có: x + $\frac{3}{2}$(12 - x) ≤ 15 x + 18 - $\frac{3}{2}$x ≤ 15 $\frac{1}{2}$x ≥ 3 x ≥ 6 Từ (3) suy ra y ≥ 12 - 6 = 6 Do đó x ≥ 6 và y ≥ 6 Ta có: 6 ≤ x ≤ 12; 6 ≤ y ≤ 8 Vì x + $\frac{3}{2}$y ≤ 15 nên 2x + 3y ≤ 30 Suy ra 2x + 3y = 30 Với y = 6 thì x = 6 Với y = 8 thì x = 3 Ta có bảng sau: | x | 6 | 3 | |---|---|---| | y | 6 | 8 | Số tiền bán được là: (100 × 6 + 200 × 6) : (100 × 3 + 200 × 8) = 1800 : 1900 > 1 Vậy để gây quỹ được nhiều tiền nhất thì học sinh đó cần làm 3 bình hoa loại nhỏ và 8 bình hoa loại lớn. Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng giá trị của góc $\alpha$ dựa vào giá trị của $\cos \alpha$. 2. Tính giá trị của $\sin \alpha$ dựa vào công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. 3. Xác định dấu của $\sin \alpha$ dựa vào khoảng giá trị của $\alpha$. Bước 1: Xác định khoảng giá trị của góc $\alpha$ - Ta biết rằng $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$. - Giá trị của $\cos \alpha$ là âm, do đó góc $\alpha$ phải nằm trong khoảng $(90^\circ, 180^\circ)$. Bước 2: Tính giá trị của $\sin \alpha$ - Sử dụng công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta có: \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{1}{9} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{8}{9} \] \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Bước 3: Xác định dấu của $\sin \alpha$ - Vì góc $\alpha$ nằm trong khoảng $(90^\circ, 180^\circ)$, nên $\sin \alpha$ là dương. - Do đó, $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Kết luận: \[ \sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]