Câu 10 và câu 11

Câu 10 Để giải quyết các yêu cầu trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo các quy tắc đã đưa ra. Dưới đây là ví dụ về cách giải một bài toán đại số theo các quy tắc đã nêu: Ví dụ: Giải phương trình $\frac{x+1}{x-2} = \frac{3}{x+2}$ Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có chứa phân thức, do đó ta phải đảm bảo mẫu số không bằng 0: \[ x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \] \[ x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \] Vậy ĐKXĐ của phương trình là: \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \). Bước 2: Quy đồng và giải phương trình Quy đồng mẫu số hai vế: \[ \frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} \] Bỏ mẫu số chung: \[ (x+1)(x+2) = 3(x-2) \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ x^2 + 3x + 2 = 3x - 6 \] \[ x^2 + 3x + 2 - 3x + 6 = 0 \] \[ x^2 + 8 = 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình \[ x^2 + 8 = 0 \] \[ x^2 = -8 \] Phương trình này vô nghiệm vì \( x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \). Bước 4: Kết luận Vì phương trình \( x^2 + 8 = 0 \) vô nghiệm, nên phương trình ban đầu cũng vô nghiệm. Đáp số: Phương trình vô nghiệm. Ví dụ: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hệ phương trình này không có điều kiện đặc biệt nào, nên ĐKXĐ là tất cả các giá trị thực của \( x \) và \( y \). Bước 2: Giải hệ phương trình Cộng hai phương trình lại: \[ (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \] \[ 2x = 6 \] \[ x = 3 \] Thay \( x = 3 \) vào phương trình thứ nhất: \[ 3 + y = 5 \] \[ y = 2 \] Bước 3: Kiểm tra nghiệm Thay \( x = 3 \) và \( y = 2 \) vào hệ phương trình: \[ 3 + 2 = 5 \] (đúng) \[ 3 - 2 = 1 \] (đúng) Bước 4: Kết luận Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( (x, y) = (3, 2) \). Đáp số: \( (x, y) = (3, 2) \). Câu 10. Để tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{m}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó: - \(|\overrightarrow{m}|\) là độ dài của vectơ \(\overrightarrow{m}\), - \(|\overrightarrow{b}|\) là độ dài của vectơ \(\overrightarrow{b}\), - \(\theta\) là góc giữa hai vectơ. Theo đề bài, ta có: - \(|\overrightarrow{m}| = 5\), - \(|\overrightarrow{b}| = 10\), - \(\theta = 30^\circ\). Bây giờ, ta thay các giá trị này vào công thức: \[ \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{b} = 5 \cdot 10 \cdot \cos(30^\circ) \] Biết rằng \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có: \[ \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{b} = 5 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thực hiện phép nhân: \[ \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{b} = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{m}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(25\sqrt{3}\). Đáp án đúng là: B. \(25\sqrt{3}\). Câu 11. Ta có công thức tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow n$ là: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow n}{|\overrightarrow u| |\overrightarrow n|} \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ \cos \theta = \frac{-8\sqrt{2}}{2 \times 8} = \frac{-8\sqrt{2}}{16} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Biết rằng $\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, ta suy ra: \[ \theta = 135^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ đã cho là $135^\circ$. Đáp án đúng là: D. $135^\circ$.