Giúp mik vs ạ

Câu 1. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x + \frac{1}{x}$ trên nửa khoảng $[5; +\infty)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: \[ f'(x) > 0 \quad \text{khi} \quad 1 - \frac{1}{x^2} > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2 - 1}{x^2} > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 > 1 \quad \Rightarrow \quad x > 1 \quad \text{hoặc} \quad x < -1 \] Vì ta đang xét trên nửa khoảng $[5; +\infty)$, nên $x > 1$ luôn đúng trong khoảng này. 3. Xét tính chất tăng giảm của hàm số: - Trên khoảng $(1, +\infty)$, ta có $f'(x) > 0$, do đó hàm số $f(x)$ là hàm số đồng biến. 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng $[5; +\infty)$: - Vì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1, +\infty)$, nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng $[5; +\infty)$ sẽ xảy ra tại điểm đầu của khoảng, tức là tại $x = 5$. 5. Tính giá trị của hàm số tại $x = 5$: \[ f(5) = 5 + \frac{1}{5} = 5 + 0.2 = 5.2 = \frac{26}{5} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x + \frac{1}{x}$ trên nửa khoảng $[5; +\infty)$ là $\frac{26}{5}$. Câu 2. Để tìm giá trị của \(a\) trong đường tiệm cận ngang của hàm số \(y = f(t)\), chúng ta cần tính giới hạn của \(f(t)\) khi \(t\) tiến đến vô cùng. Hàm số đã cho là: \[ f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} \] Ta tính giới hạn của \(f(t)\) khi \(t\) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{26t + 10}{t + 5} \] Chia cả tử và mẫu cho \(t\): \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{26t + 10}{t + 5} = \lim_{t \to +\infty} \frac{26 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} \] Khi \(t\) tiến đến vô cùng, các phân số \(\frac{10}{t}\) và \(\frac{5}{t}\) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{26 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} = \frac{26 + 0}{1 + 0} = 26 \] Vậy giá trị của \(a\) là 26. Đáp số: \(a = 26\) Câu 3. Giá tiền của mỗi điện thoại là 6000 - 3x (nghìn đồng). Do đó, tổng số tiền mà hãng thu được từ đại lý là: (6000 - 3x) x x = 6000x - 3x^2 (nghìn đồng) Ta có: 6000x - 3x^2 = -3(x^2 - 2000x + 1000000 - 1000000) = -3(x - 1000)^2 + 3000000 Vì (x - 1000)^2 ≥ 0 nên -3(x - 1000)^2 ≤ 0 Suy ra: -3(x - 1000)^2 + 3000000 ≤ 3000000 Vậy 6000x - 3x^2 đạt giá trị lớn nhất bằng 3000000 khi x = 1000. Đáp số: 1000 chiếc điện thoại Câu 4. Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan đến các điểm đã cho trong hình học. 1. Ta biết rằng \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Do đó: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}) \] 2. Ta cũng biết rằng: \[ \overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{BQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \] Từ đây, ta có: \[ \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AP} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \] 3. Bây giờ, ta cần tìm các hệ số \(\alpha\) và \(\beta\) sao cho: \[ \overrightarrow{MN} = \alpha \overrightarrow{MP} + \beta \overrightarrow{MQ} \] 4. Thay các biểu thức đã tìm được vào phương trình trên: \[ \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}) = \alpha \left( -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} \right) + \beta \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \right) \] 5. Để giải quyết phương trình này, ta cần tách riêng các thành phần liên quan đến \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), và \(\overrightarrow{BC}\): \[ \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = -\frac{\alpha}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2\alpha}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{\beta}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2\beta}{3}\overrightarrow{BC} \] 6. So sánh các thành phần tương ứng: \[ \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{2\alpha}{3}\overrightarrow{AD} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} = \frac{2\alpha}{3} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{3}{4} \] \[ \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{2\beta}{3}\overrightarrow{BC} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} = \frac{2\beta}{3} \quad \Rightarrow \quad \beta = \frac{3}{4} \] 7. Cuối cùng, ta tính tổng \(\alpha + \beta\): \[ \alpha + \beta = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Vậy, tổng \(\alpha + \beta\) là: \[ \boxed{\frac{3}{2}} \] Câu 5. Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}(1, -2, 1)$ và $\overrightarrow{v}(-2, 1, 1)$ trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -2 - 2 + 1 = -3 \] 2. Tính độ dài (norm) của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] 3. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] 4. Tìm góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \] Biết rằng $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$. Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là $120^\circ$. Câu 6. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = xyz \) với điều kiện \( x \geq 0, y \geq 0, z \geq 1 \) và \( x + y + z = 2 \), ta sẽ sử dụng phương pháp Lagrange Multipliers hoặc phương pháp khảo sát hàm số. Bước 1: Xác định điều kiện và biến đổi biểu thức Ta có \( x + y + z = 2 \). Do đó, \( z = 2 - x - y \). Bước 2: Biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = xy(2 - x - y) \] Bước 3: Tìm cực đại của hàm số \( f(x, y) = xy(2 - x - y) \) Để tìm cực đại, ta tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = y(2 - 2x - y) \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x(2 - x - 2y) \] Bước 4: Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0 \[ y(2 - 2x - y) = 0 \] \[ x(2 - x - 2y) = 0 \] Từ đây, ta có các trường hợp: 1. \( y = 0 \) hoặc \( 2 - 2x - y = 0 \) 2. \( x = 0 \) hoặc \( 2 - x - 2y = 0 \) Bước 5: Kiểm tra các trường hợp - Nếu \( y = 0 \), ta có \( x + z = 2 \) và \( P = 0 \). - Nếu \( x = 0 \), ta có \( y + z = 2 \) và \( P = 0 \). - Nếu \( 2 - 2x - y = 0 \) và \( 2 - x - 2y = 0 \), ta giải hệ phương trình này: \[ 2 - 2x - y = 0 \Rightarrow y = 2 - 2x \] \[ 2 - x - 2y = 0 \Rightarrow 2 - x - 2(2 - 2x) = 0 \Rightarrow 2 - x - 4 + 4x = 0 \Rightarrow 3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \] \[ y = 2 - 2 \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} \] \[ z = 2 - x - y = 2 - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \] Bước 6: Tính giá trị của \( P \) tại điểm \( \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) \) \[ P = \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{8}{27} \] Do đó, giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \frac{8}{27} \). Bước 7: Tìm \( 2a + b \) \[ \frac{a}{b} = \frac{8}{27} \Rightarrow a = 8, b = 27 \] \[ 2a + b = 2 \times 8 + 27 = 16 + 27 = 43 \] Vậy giá trị của \( 2a + b \) là \( 43 \).