Giúp e phần này với ạ

Câu 2: a. Trên $(1; +\infty)$, ta có $f(x) = |x - 1| = x - 1$. Nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \int (x - 1) \, dx = \frac{x^2}{2} - x + C \] Với $C$ là hằng số. Do đó, $F(x) = \frac{x^2}{2} - x + 5$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(1; +\infty)$. b. Trên $(-\infty; 1)$, ta có $f(x) = |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \int (-x + 1) \, dx = -\frac{x^2}{2} + x + C \] Với $C$ là hằng số. Do đó, $F(x) = \frac{x^2}{2} - x - 3$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(-\infty; 1)$. c. Ta biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(3) = 4$. Trên $(1; +\infty)$, ta có: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - x + C \] Do $F(3) = 4$, ta thay vào để tìm $C$: \[ 4 = \frac{3^2}{2} - 3 + C \] \[ 4 = \frac{9}{2} - 3 + C \] \[ 4 = \frac{9}{2} - \frac{6}{2} + C \] \[ 4 = \frac{3}{2} + C \] \[ C = 4 - \frac{3}{2} = \frac{8}{2} - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \] Vậy trên $(1; +\infty)$, ta có: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - x + \frac{5}{2} \] Trên $(-\infty; 1)$, ta có: \[ F(x) = -\frac{x^2}{2} + x + D \] Do $F(x)$ liên tục tại $x = 1$, ta có: \[ F(1) = \frac{1^2}{2} - 1 + \frac{5}{2} = -\frac{1^2}{2} + 1 + D \] \[ \frac{1}{2} - 1 + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} + 1 + D \] \[ \frac{1}{2} - \frac{2}{2} + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{2}{2} + D \] \[ \frac{4}{2} = \frac{1}{2} + D \] \[ 2 = \frac{1}{2} + D \] \[ D = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] Vậy trên $(-\infty; 1)$, ta có: \[ F(x) = -\frac{x^2}{2} + x + \frac{3}{2} \] Bây giờ, ta tính $F(-1) + F(5)$: \[ F(-1) = -\frac{(-1)^2}{2} + (-1) + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} - 1 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 0 \] \[ F(5) = \frac{5^2}{2} - 5 + \frac{5}{2} = \frac{25}{2} - 5 + \frac{5}{2} = \frac{25}{2} - \frac{10}{2} + \frac{5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] \[ F(-1) + F(5) = 0 + 10 = 10 \] d. Ta biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(0) = 2$. Trên $(-\infty; 1)$, ta có: \[ F(x) = -\frac{x^2}{2} + x + D \] Do $F(0) = 2$, ta thay vào để tìm $D$: \[ 2 = -\frac{0^2}{2} + 0 + D \] \[ 2 = D \] Vậy trên $(-\infty; 1)$, ta có: \[ F(x) = -\frac{x^2}{2} + x + 2 \] Trên $(1; +\infty)$, ta có: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - x + C \] Do $F(x)$ liên tục tại $x = 1$, ta có: \[ F(1) = -\frac{1^2}{2} + 1 + 2 = \frac{1^2}{2} - 1 + C \] \[ -\frac{1}{2} + 1 + 2 = \frac{1}{2} - 1 + C \] \[ \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} + C \] \[ C = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3 \] Vậy trên $(1; +\infty)$, ta có: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - x + 3 \] Bây giờ, ta tính $2F(-3) + F(4)$: \[ F(-3) = -\frac{(-3)^2}{2} + (-3) + 2 = -\frac{9}{2} - 3 + 2 = -\frac{9}{2} - \frac{6}{2} + \frac{4}{2} = -\frac{11}{2} \] \[ F(4) = \frac{4^2}{2} - 4 + 3 = \frac{16}{2} - 4 + 3 = 8 - 4 + 3 = 7 \] \[ 2F(-3) + F(4) = 2 \left( -\frac{11}{2} \right) + 7 = -11 + 7 = -4 \] Đáp án: a. Đúng b. Đúng c. Sai d. Sai Câu 1: Để đồ thị hàm số $y = \frac{x^3}{3} - mx^2 + (10m - 9)x + 5$ có cực trị, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số có hai nghiệm phân biệt. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = x^2 - 2mx + (10m - 9) \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ x^2 - 2mx + (10m - 9) = 0 \] Bước 3: Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là: \[ \Delta > 0 \] \[ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (10m - 9) \] \[ \Delta = 4m^2 - 40m + 36 \] \[ \Delta = 4(m^2 - 10m + 9) \] \[ \Delta = 4(m - 1)(m - 9) \] Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ 4(m - 1)(m - 9) > 0 \] \[ (m - 1)(m - 9) > 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình: \[ m < 1 \quad \text{hoặc} \quad m > 9 \] Bước 5: Tìm số lượng các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $(-2020, 2020)$ thỏa mãn điều kiện trên: - Các giá trị $m < 1$: từ $-2019$ đến $0$, tổng cộng có $2019$ giá trị. - Các giá trị $m > 9$: từ $10$ đến $2019$, tổng cộng có $2010$ giá trị. Tổng số giá trị nguyên của $m$ là: \[ 2019 + 2010 = 4029 \] Đáp số: 4029 Câu 2: Để tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = \frac{x-1}{x+2} \), trục Ox, và hai đường thẳng \( x = 2 \) và \( x = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( y = \frac{x-1}{x+2} \): Ta có: \[ y = \frac{x-1}{x+2} = \frac{(x+2)-3}{x+2} = 1 - \frac{3}{x+2} \] Do đó, nguyên hàm của \( y \) là: \[ \int \left( 1 - \frac{3}{x+2} \right) dx = x - 3 \ln |x+2| + C \] 2. Tính diện tích hình phẳng (H): Diện tích \( S_{(H)} \) được tính bằng cách lấy giá trị nguyên hàm tại \( x = 3 \) trừ đi giá trị nguyên hàm tại \( x = 2 \): \[ S_{(H)} = \left[ x - 3 \ln |x+2| \right]_2^3 \] Thay các giá trị vào: \[ S_{(H)} = \left( 3 - 3 \ln |3+2| \right) - \left( 2 - 3 \ln |2+2| \right) \] \[ S_{(H)} = (3 - 3 \ln 5) - (2 - 3 \ln 4) \] \[ S_{(H)} = 3 - 3 \ln 5 - 2 + 3 \ln 4 \] \[ S_{(H)} = 1 + 3 \ln 4 - 3 \ln 5 \] \[ S_{(H)} = 1 + 3 (\ln 4 - \ln 5) \] \[ S_{(H)} = 1 + 3 \ln \left( \frac{4}{5} \right) \] \[ S_{(H)} = 1 + 3 \ln \left( \frac{4}{5} \right) \] \[ S_{(H)} = 1 + 3 \ln \left( \frac{4}{5} \right) \] \[ S_{(H)} = 1 + 3 \ln \left( \frac{4}{5} \right) \] \[ S_{(H)} = 1 + 3 \ln \left( \frac{4}{5} \right) \] 3. So sánh với dạng \( a \ln 2 + b \ln 5 + c \): Ta thấy rằng: \[ 1 + 3 \ln \left( \frac{4}{5} \right) = 1 + 3 (\ln 4 - \ln 5) = 1 + 3 (2 \ln 2 - \ln 5) \] \[ S_{(H)} = 1 + 6 \ln 2 - 3 \ln 5 \] So sánh với dạng \( a \ln 2 + b \ln 5 + c \), ta có: \[ a = 6, \quad b = -3, \quad c = 1 \] 4. Tính \( a + b - c \): \[ a + b - c = 6 + (-3) - 1 = 2 \] Vậy đáp án là: \[ \boxed{2} \] Câu 3: Câu 1: Tính trung bình cộng, phương sai và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Bước 1: Tính trung bình cộng ($\overline{x}$) Ta tính trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm theo công thức: \[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i f_i}{n} \] Trong đó: - \( m_i \) là trung điểm của mỗi nhóm. - \( f_i \) là tần số của mỗi nhóm. - \( n \) là tổng số lượng dữ liệu. Các nhóm và tần số: - Nhóm [150; 156): Trung điểm \( m_1 = 153 \), tần số \( f_1 = 5 \) - Nhóm [156; 162): Trung điểm \( m_2 = 159 \), tần số \( f_2 = 18 \) - Nhóm [162; 168): Trung điểm \( m_3 = 165 \), tần số \( f_3 = 40 \) - Nhóm [168; 174): Trung điểm \( m_4 = 171 \), tần số \( f_4 = 26 \) - Nhóm [174; 180): Trung điểm \( m_5 = 177 \), tần số \( f_5 = 8 \) - Nhóm [180; 186): Trung điểm \( m_6 = 183 \), tần số \( f_6 = 3 \) Tổng số lượng dữ liệu: \[ n = 5 + 18 + 40 + 26 + 8 + 3 = 100 \] Tính trung bình cộng: \[ \overline{x} = \frac{(153 \times 5) + (159 \times 18) + (165 \times 40) + (171 \times 26) + (177 \times 8) + (183 \times 3)}{100} \] \[ \overline{x} = \frac{765 + 2862 + 6600 + 4446 + 1416 + 549}{100} \] \[ \overline{x} = \frac{16638}{100} = 166.38 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai (\(s^2\)) được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (m_i - \overline{x})^2}{n} \] Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{(5 \times (153 - 166.38)^2) + (18 \times (159 - 166.38)^2) + (40 \times (165 - 166.38)^2) + (26 \times (171 - 166.38)^2) + (8 \times (177 - 166.38)^2) + (3 \times (183 - 166.38)^2)}{100} \] \[ s^2 = \frac{(5 \times (-13.38)^2) + (18 \times (-7.38)^2) + (40 \times (-1.38)^2) + (26 \times 4.62^2) + (8 \times 10.62^2) + (3 \times 16.62^2)}{100} \] \[ s^2 = \frac{(5 \times 179.0244) + (18 \times 54.4644) + (40 \times 1.9044) + (26 \times 21.3444) + (8 \times 112.7844) + (3 \times 276.2244)}{100} \] \[ s^2 = \frac{895.122 + 980.3592 + 76.176 + 554.9544 + 902.2752 + 828.6732}{100} \] \[ s^2 = \frac{4237.56}{100} = 42.3756 \] Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị Khoảng tứ phân vị (IQR) được tính bằng cách lấy Q3 trừ Q1. Q1 (tứ phân vị thứ nhất) là giá trị ở vị trí \(\frac{n}{4}\): \[ \frac{100}{4} = 25 \] Q1 nằm trong nhóm [156; 162). Q3 (tứ phân vị thứ ba) là giá trị ở vị trí \(\frac{3n}{4}\): \[ \frac{3 \times 100}{4} = 75 \] Q3 nằm trong nhóm [168; 174). Sử dụng phương pháp nội suy để tìm Q1 và Q3: \[ Q1 = 156 + \frac{25 - 5}{18} \times 6 = 156 + \frac{20}{18} \times 6 = 156 + 6.67 = 162.67 \] \[ Q3 = 168 + \frac{75 - 69}{26} \times 6 = 168 + \frac{6}{26} \times 6 = 168 + 1.38 = 169.38 \] Khoảng tứ phân vị: \[ IQR = Q3 - Q1 = 169.38 - 162.67 = 6.71 \] Câu 2: Tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Bước 1: Xác định phương trình mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) đi qua điểm \( A(1, 4, 2) \) và vuông góc với mặt phẳng \( Oxy \). Mặt phẳng \( Oxy \) có phương trình \( z = 0 \), do đó mặt phẳng (P) có phương trình \( z = d \). Vì (P) đi qua điểm \( A(1, 4, 2) \), ta thay tọa độ của A vào phương trình: \[ 2 = d \] Do đó, phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ z = 2 \] Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Khoảng cách từ điểm \( M(2, -1, 3) \) đến mặt phẳng \( z = 2 \) được tính theo công thức: \[ d(M, (P)) = |z_M - d| \] \[ d(M, (P)) = |3 - 2| = 1 \] Đáp số: 1. Trung bình cộng: \( \overline{x} = 166.38 \) 2. Phương sai: \( s^2 = 42.3756 \) 3. Khoảng tứ phân vị: \( IQR = 6.71 \) 4. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): \( d(M, (P)) = 1 \) Câu 5: Câu 1: Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) 1. Xác định đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P): - Mặt phẳng (P) có phương pháp pháp tuyến là $\vec{n} = (1, 1, -2)$. - Đường thẳng d đi qua A(1, 2, -1) và có vectơ chỉ phương là $\vec{n} = (1, 1, -2)$. - Phương trình tham số của đường thẳng d là: \[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = -1 - 2t \end{cases} \] 2. Tìm giao điểm H của đường thẳng d với mặt phẳng (P): - Thay phương trình tham số của d vào phương trình của (P): \[ (1 + t) + (2 + t) - 2(-1 - 2t) + 1 = 0 \] \[ 1 + t + 2 + t + 2 + 4t + 1 = 0 \] \[ 6t + 6 = 0 \implies t = -1 \] - Thay $t = -1$ vào phương trình tham số của d để tìm tọa độ của H: \[ \begin{cases} x = 1 - 1 = 0 \\ y = 2 - 1 = 1 \\ z = -1 + 2 = 1 \end{cases} \] - Vậy H(0, 1, 1). 3. Tìm tọa độ của điểm A': - Điểm A' đối xứng với A qua H, nên ta có: \[ \begin{cases} x_{A'} = 2 \cdot 0 - 1 = -1 \\ y_{A'} = 2 \cdot 1 - 2 = 0 \\ z_{A'} = 2 \cdot 1 - (-1) = 3 \end{cases} \] - Vậy A'(-1, 0, 3). Câu 2: Tìm điểm M thuộc (Oxz) sao cho $|2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất 1. Xác định tọa độ của M: - Vì M thuộc (Oxz), nên M có tọa độ dạng (x, 0, z). 2. Tính các vectơ $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{MC}$: - $\overrightarrow{MA} = (1 - x, 2, 1 - z)$ - $\overrightarrow{MB} = (3 - x, 4, 2 - z)$ - $\overrightarrow{MC} = (2 - x, 1, 3 - z)$ 3. Tính $2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}$: - $2\overrightarrow{MA} = 2(1 - x, 2, 1 - z) = (2 - 2x, 4, 2 - 2z)$ - $4\overrightarrow{MB} = 4(3 - x, 4, 2 - z) = (12 - 4x, 16, 8 - 4z)$ - $-\overrightarrow{MC} = -(2 - x, 1, 3 - z) = (-2 + x, -1, -3 + z)$ - Tổng: \[ 2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = (2 - 2x + 12 - 4x - 2 + x, 4 + 16 - 1, 2 - 2z + 8 - 4z - 3 + z) \] \[ = (-5x + 12, 19, -5z + 7) \] 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|$: - Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của: \[ |(-5x + 12, 19, -5z + 7)| = \sqrt{(-5x + 12)^2 + 19^2 + (-5z + 7)^2} \] - Để giá trị này nhỏ nhất, ta cần: \[ -5x + 12 = 0 \implies x = \frac{12}{5} \] \[ -5z + 7 = 0 \implies z = \frac{7}{5} \] - Vậy M có tọa độ là $\left(\frac{12}{5}, 0, \frac{7}{5}\right)$. Đáp số: 1. A'(-1, 0, 3) 2. M$\left(\frac{12}{5}, 0, \frac{7}{5}\right)$