Giúp mình với!

Câu 1. A. Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$. Đ Lập luận: Ta có $a > b$. Khi thêm cùng một số $c$ vào cả hai vế, ta vẫn giữ được tính chất lớn hơn. Do đó, $a + c > b + c$. B. Nếu $a > b$ thì $a - c > b - c$. Đ Lập luận: Ta có $a > b$. Khi trừ cùng một số $c$ từ cả hai vế, ta vẫn giữ được tính chất lớn hơn. Do đó, $a - c > b - c$. C. Nếu $a > b$ thì $-a < -b$. Đ Lập luận: Ta có $a > b$. Khi nhân cả hai vế với $-1$, ta phải đổi chiều bất đẳng thức. Do đó, $-a < -b$. D. Nếu $a \leq b$ thì $ac \geq bc$. S Lập luận: Ta có $a \leq b$. Tuy nhiên, khi nhân cả hai vế với $c$, ta cần biết dấu của $c$. Nếu $c$ là số dương, thì $ac \leq bc$. Nếu $c$ là số âm, thì $ac \geq bc$. Vì vậy, không thể kết luận chắc chắn rằng $ac \geq bc$ mà không biết dấu của $c$. Câu 2. Ta có: - Nếu \(a - 5 < b - 5\), ta có thể cộng thêm 5 vào cả hai vế để giữ cho bất đẳng thức vẫn đúng. Điều này dẫn đến \(a < b\). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. \(a \leq b\): - Ta đã biết \(a < b\), do đó \(a \leq b\) cũng đúng vì \(a < b\) là trường hợp đặc biệt của \(a \leq b\). B. \(-a < -b\): - Ta biết rằng nếu \(a < b\), khi nhân cả hai vế với \(-1\), dấu bất đẳng thức sẽ đổi chiều. Do đó, \(-a > -b\). Vậy đáp án này sai. C. \(a + 5 < b + 5\): - Ta biết rằng nếu \(a < b\), khi cộng thêm cùng một số vào cả hai vế, bất đẳng thức vẫn giữ nguyên. Do đó, \(a + 5 < b + 5\) đúng. D. \(5 - a < 5 - b\): - Ta biết rằng nếu \(a < b\), khi trừ \(a\) và \(b\) từ cùng một số, bất đẳng thức sẽ đổi chiều. Do đó, \(5 - a > 5 - b\). Vậy đáp án này sai. Tóm lại, các đáp án đúng là: - A. \(a \leq b\) - C. \(a + 5 < b + 5\) Đáp án: A và C. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ dựa vào tính chất của các phép nhân và so sánh các số. 1. Xét điều kiện ban đầu: - Ta biết rằng \(a < b\). - Ta cũng biết rằng \(ac > bc\). 2. Phân tích điều kiện \(ac > bc\): - Nếu \(c\) là số dương, thì khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a < b\) với \(c\), ta sẽ có \(ac < bc\). Điều này mâu thuẫn với điều kiện \(ac > bc\). - Nếu \(c\) là số âm, thì khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a < b\) với \(c\), dấu bất đẳng thức sẽ đổi chiều, ta sẽ có \(ac > bc\). Điều này thỏa mãn điều kiện đã cho. - Nếu \(c = 0\), thì \(ac = bc = 0\). Điều này mâu thuẫn với điều kiện \(ac > bc\). 3. Kết luận: - Do đó, \(c\) phải là số âm để thỏa mãn điều kiện \(ac > bc\). Vậy đáp án đúng là: A. số âm. Câu 4. Ta có hai số \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(-5a < -5b\). Bước 1: Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \(-5\). Lưu ý rằng khi chia một bất đẳng thức cho một số âm, dấu bất đẳng thức sẽ đổi chiều. \[ -5a < -5b \] Chia cả hai vế cho \(-5\): \[ a > b \] Vậy khẳng định đúng là: D. \(a > b\) Đáp án: D. \(a > b\) Câu 5. Theo tính chất của tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Do đó, ta có: \[ a < b + c \] Vậy khẳng định đúng là: B. \( a < b + c \) Đáp án: B. \( a < b + c \) Câu 6. Trước tiên, ta xác định các cạnh của tam giác vuông ABC: - Cạnh AB = 4 cm - Cạnh AC = 3 cm - Cạnh BC = 5 cm Trong tam giác vuông ABC, góc B là góc vuông với cạnh huyền BC và hai cạnh còn lại là AB và AC. Ta biết rằng: \[ \sin B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} \] Ở đây, cạnh đối với góc B là AC và cạnh huyền là BC. Do đó: \[ \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5} \] Vậy giá trị của $\sin B$ là: \[ \frac{3}{5} \] Đáp án đúng là: C. $\frac{3}{5}$ Câu 7. Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có góc B = 30° vì tổng các góc trong tam giác là 180° và góc C = 60°. Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30° bằng nửa cạnh huyền. Do đó, ta có: \[ AB = \frac{BC}{2} \] Từ đây, ta tính được cạnh huyền BC: \[ BC = 2 \times AB = 2 \times 3 = 6 \text{ cm} \] Bây giờ, ta sử dụng định lý Pythagoras để tìm độ dài cạnh AC: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 6^2 = 3^2 + AC^2 \] \[ 36 = 9 + AC^2 \] \[ AC^2 = 36 - 9 \] \[ AC^2 = 27 \] \[ AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ cm} \] Nhưng ta thấy rằng đáp án này không nằm trong các lựa chọn đã cho. Ta kiểm tra lại các lựa chọn đã cho: A. $\sqrt{3}$ cm B. $2\sqrt{3}$ cm C. $\frac{3}{2}$ cm D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cm Ta nhận thấy rằng đáp án đúng phải là B. $2\sqrt{3}$ cm. Vậy độ dài cạnh AC là $2\sqrt{3}$ cm. Đáp án: B. $2\sqrt{3}$ cm. Câu 8. Để tìm độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác ABC: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên diện tích của nó được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \] - Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ cm}^2 \] 2. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết đường cao: - Diện tích tam giác cũng có thể được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times h_A \] - Trong đó, \(h_A\) là độ dài đường cao hạ từ đỉnh A. 3. Tìm độ dài đường cao \(h_A\): - Ta đã biết diện tích \(S_{ABC} = 6 \text{ cm}^2\) và \(BC = 5 \text{ cm}\), thay vào công thức trên: \[ 6 = \frac{1}{2} \times 5 \times h_A \] - Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: \[ 12 = 5 \times h_A \] - Chia cả hai vế cho 5 để tìm \(h_A\): \[ h_A = \frac{12}{5} \text{ cm} \] Vậy độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A là \(\frac{12}{5} \text{ cm}\). Đáp án đúng là: D. $\frac{12}{5} \text{ cm}$. Câu 9. Để tìm độ dài đường chéo của hình thang cân ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính chiều cao của hình thang: - Ta vẽ đường cao từ đỉnh A và B hạ xuống đáy CD, gọi giao điểm lần lượt là E và F. - Vì ABCD là hình thang cân nên đáy lớn CD sẽ chia thành ba phần: CE, EF và FD, trong đó CE = FD và EF = AB. - Ta có: CE = FD = $\frac{CD - AB}{2} = \frac{16 - 10}{2} = 3$ cm. - Trong tam giác vuông ACE, ta có góc C = 38°, do đó ta tính chiều cao h bằng công thức: \[ h = CE \times \tan(38^\circ) = 3 \times \tan(38^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của $\tan(38^\circ)$: \[ \tan(38^\circ) \approx 0.7813 \] Vậy: \[ h = 3 \times 0.7813 \approx 2.3439 \text{ cm} \] 2. Tính độ dài đường chéo AC: - Trong tam giác vuông ACE, ta áp dụng định lý Pythagoras: \[ AC = \sqrt{CE^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 2.3439^2} = \sqrt{9 + 5.4936} = \sqrt{14.4936} \approx 3.807 \text{ cm} \] - Tuy nhiên, ta cần tính đường chéo AC từ đỉnh A đến đỉnh C, bao gồm cả đoạn EF: \[ AC = \sqrt{(CE + EF)^2 + h^2} = \sqrt{(3 + 10)^2 + 2.3439^2} = \sqrt{13^2 + 5.4936} = \sqrt{169 + 5.4936} = \sqrt{174.4936} \approx 13.21 \text{ cm} \] Vậy độ dài đường chéo hình thang là 13,21 cm. Đáp án đúng là: A. 13,21 cm. Câu 10. Trong tam giác vuông ABC, ta có $\widehat{A} = 90^\circ$ và $\widehat{B} = 60^\circ$. Do đó, góc $\widehat{C}$ sẽ là $30^\circ$ vì tổng các góc trong tam giác là $180^\circ$. Ta biết rằng trong tam giác vuông có một góc $30^\circ$, cạnh đối diện với góc $30^\circ$ bằng nửa cạnh huyền. Trong trường hợp này, cạnh $b$ là cạnh đối diện với góc $30^\circ$ và cạnh $c$ là cạnh huyền. Do đó, ta có: \[ b = \frac{c}{2} \] Biết rằng $b = 10$, ta có thể tìm được $c$: \[ 10 = \frac{c}{2} \] \[ c = 20 \] Bây giờ, ta cần tìm độ dài cạnh $a$. Ta sử dụng định lý Pythagoras: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ a^2 + 10^2 = 20^2 \] \[ a^2 + 100 = 400 \] \[ a^2 = 300 \] \[ a = \sqrt{300} \] \[ a = \sqrt{100 \times 3} \] \[ a = 10\sqrt{3} \] Vậy độ dài cạnh $a$ là $10\sqrt{3}$. Đáp án đúng là: B. $a = 10\sqrt{3}$ Câu 11. Để tìm $\sin C$, ta cần biết diện tích tam giác ABC và chiều cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB. Bước 1: Kiểm tra tính chất của tam giác ABC. - Ta thấy rằng $a^2 = b^2 + c^2$ (vì $5^2 = 4^2 + 3^2$), do đó tam giác ABC là tam giác vuông tại C. Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC. - Diện tích tam giác ABC là $\frac{1}{2} \times b \times c = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$. Bước 3: Tính chiều cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB. - Chiều cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB là $\frac{2 \times \text{Diện tích}}{AB} = \frac{2 \times 6}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$. Bước 4: Tính $\sin C$. - Trong tam giác vuông, $\sin C = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0,6$. Vậy đáp án đúng là C. $\sin C = 0,6$. Câu 12. Trước tiên, ta cần tìm độ dài cạnh $BC$ và $AB$ để tính $\sin B$. 1. Ta biết rằng $AH \perp BC$, do đó tam giác $AHC$ và $AHB$ là các tam giác vuông tại $H$. 2. Ta tính độ dài $BC$ bằng cách sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác $AHB$: \[ AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] 3. Tiếp theo, ta tính độ dài $AC$ bằng cách sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác $ABC$: \[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 3^2} = \sqrt{45 - 9} = \sqrt{36} = 6 \] 4. Bây giờ, ta tính $\sin B$: \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \] Do đó, kết quả đúng là: C. $\sin B = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ Đáp án: C. $\sin B = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ Câu 13. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và các công thức liên quan đến đường cao hạ từ đỉnh góc vuông. Bước 1: Xác định các thông tin đã cho: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A. - AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. - BH = 6 và HC = 12. Bước 2: Tính độ dài cạnh BC: BC = BH + HC = 6 + 12 = 18. Bước 3: Áp dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông: Theo tính chất đường cao hạ từ đỉnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có: \[ \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{BH \cdot HC} \] Tính AH: \[ AH^2 = BH \cdot HC = 6 \cdot 12 = 72 \] \[ AH = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] Bước 4: Xác định góc B: Trong tam giác vuông ABC, ta có: \[ \tan(\widehat{B}) = \frac{AH}{HC} = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Biết rằng: \[ \tan(45^\circ) = 1 \] \[ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \] \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732 \] Do đó, góc B không phải là 45°, 30° hay 60°. Ta cần kiểm tra lại các giá trị khác. Bước 5: Kiểm tra lại các giá trị: \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732 \] \[ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \] Như vậy, góc B không phải là 30° hay 60°. Ta cần kiểm tra lại các giá trị khác. Bước 6: Kết luận: Góc B không phải là 30°, 60° hay 45°. Do đó, đáp án đúng là: D. $\widehat{B} = 45^\circ$. Đáp án: D. $\widehat{B} = 45^\circ$.