vvbfcvcxxxcf

Câu 1. Để tìm giá trị cực tiểu và cực đại của hàm số $f(x)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - \frac{9x^2}{2} + 20x - 2\right) = x^2 - 9x + 20 \] 2. Tìm các điểm cực trị: Đặt $f'(x) = 0$: \[ x^2 - 9x + 20 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 5 \quad \text{và} \quad x_2 = 4 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta kiểm tra dấu của đạo hàm $f'(x)$ trong các khoảng $( -\infty, 4 )$, $( 4, 5 )$, và $( 5, +\infty )$. - Khi $x < 4$: $f'(x) > 0$ (hàm số đồng biến) - Khi $4 < x < 5$: $f'(x) < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $x > 5$: $f'(x) > 0$ (hàm số đồng biến) Vậy: - $x = 4$ là điểm cực đại. - $x = 5$ là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị cực đại và cực tiểu: - Giá trị cực đại tại $x = 4$: \[ y_2 = f(4) = \frac{4^3}{3} - \frac{9 \cdot 4^2}{2} + 20 \cdot 4 - 2 = \frac{64}{3} - 72 + 80 - 2 = \frac{64}{3} + 8 = \frac{64 + 24}{3} = \frac{88}{3} \approx 29.33 \] - Giá trị cực tiểu tại $x = 5$: \[ y_1 = f(5) = \frac{5^3}{3} - \frac{9 \cdot 5^2}{2} + 20 \cdot 5 - 2 = \frac{125}{3} - \frac{225}{2} + 100 - 2 = \frac{125}{3} - \frac{225}{2} + 98 = \frac{250 - 675 + 588}{6} = \frac{163}{6} \approx 27.17 \] 5. Tính $P = 4y_1 - y_2$: \[ P = 4 \cdot \frac{163}{6} - \frac{88}{3} = \frac{652}{6} - \frac{176}{6} = \frac{476}{6} = \frac{238}{3} \approx 79.3 \] Vậy, kết quả làm tròn đến hàng phần mười là: \[ P \approx 79.3 \] Câu 2. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = -x^3 + \frac{9x^2}{2} + 12x + 4$ trên đoạn $[-3; 5]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = -3x^2 + 9x + 12 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Gọi $y' = 0$ để tìm các điểm cực trị: \[ -3x^2 + 9x + 12 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (x - 4)(x + 1) = 0 \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x = 4 \quad \text{và} \quad x = -1 \] Bước 3: Kiểm tra các điểm cực trị và các biên của đoạn Ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm $x = -3$, $x = -1$, $x = 4$, và $x = 5$. - Tại $x = -3$: \[ y(-3) = -(-3)^3 + \frac{9(-3)^2}{2} + 12(-3) + 4 = 27 + \frac{81}{2} - 36 + 4 = 27 + 40.5 - 36 + 4 = 35.5 \] - Tại $x = -1$: \[ y(-1) = -(-1)^3 + \frac{9(-1)^2}{2} + 12(-1) + 4 = 1 + \frac{9}{2} - 12 + 4 = 1 + 4.5 - 12 + 4 = -2.5 \] - Tại $x = 4$: \[ y(4) = -(4)^3 + \frac{9(4)^2}{2} + 12(4) + 4 = -64 + \frac{144}{2} + 48 + 4 = -64 + 72 + 48 + 4 = 60 \] - Tại $x = 5$: \[ y(5) = -(5)^3 + \frac{9(5)^2}{2} + 12(5) + 4 = -125 + \frac{225}{2} + 60 + 4 = -125 + 112.5 + 60 + 4 = 51.5 \] Bước 4: So sánh các giá trị So sánh các giá trị đã tính: \[ y(-3) = 35.5 \] \[ y(-1) = -2.5 \] \[ y(4) = 60 \] \[ y(5) = 51.5 \] Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là $y(-1) = -2.5$. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = -x^3 + \frac{9x^2}{2} + 12x + 4$ trên đoạn $[-3; 5]$ là $\boxed{-2.5}$. Câu 3. Để tìm tốc độ trung bình \( v \) sao cho chi phí tiền xăng \( C(v) \) là thấp nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \( C(v) \): \[ C(v) = \frac{5v}{8} + \frac{29645}{8v} \] Tính đạo hàm \( C'(v) \): \[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{5v}{8}\right) + \frac{d}{dv}\left(\frac{29645}{8v}\right) \] \[ C'(v) = \frac{5}{8} - \frac{29645}{8v^2} \] 2. Tìm điểm cực tiểu của \( C(v) \): Đặt \( C'(v) = 0 \): \[ \frac{5}{8} - \frac{29645}{8v^2} = 0 \] \[ \frac{5}{8} = \frac{29645}{8v^2} \] \[ 5v^2 = 29645 \] \[ v^2 = \frac{29645}{5} \] \[ v^2 = 5929 \] \[ v = \sqrt{5929} \] \[ v = 77 \] 3. Kiểm tra điều kiện \( 0 \leq v \leq 150 \): \( v = 77 \) nằm trong khoảng \( 0 \leq v \leq 150 \). 4. Xác nhận \( v = 77 \) là điểm cực tiểu: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai \( C''(v) \): \[ C''(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{5}{8} - \frac{29645}{8v^2}\right) \] \[ C''(v) = \frac{d}{dv}\left(- \frac{29645}{8v^2}\right) \] \[ C''(v) = \frac{29645 \cdot 2}{8v^3} \] \[ C''(v) = \frac{59290}{8v^3} \] Tại \( v = 77 \): \[ C''(77) = \frac{59290}{8 \cdot 77^3} > 0 \] Vì \( C''(77) > 0 \), nên \( v = 77 \) là điểm cực tiểu của \( C(v) \). Do đó, tốc độ trung bình để chi phí tiền xăng là thấp nhất là \( v = 77 \) km/h. Câu 4. Chi phí trung bình để sản xuất mỗi mét khối sản phẩm là: $f(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{4}{x}+0,8+0,001x$ (triệu đồng) $f'(x)=-\frac{4}{x^{2}}+0,001$ $f'(x)=0\Leftrightarrow -\frac{4}{x^{2}}+0,001=0\Leftrightarrow x=200$ (loại vì $x>81)$ Ta có $f(0)=+\infty ;f(81)\approx 1,2$ (triệu đồng) Vậy để chi phí trung bình để sản xuất là thấp nhất thì mỗi tháng xưởng sản xuất 81 mét khối sản phẩm. Câu 5. Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{12x^2 + 18x - 5}{4x - 2} \), ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Phép chia đa thức: Ta chia \( 12x^2 + 18x - 5 \) cho \( 4x - 2 \): \[ \begin{array}{r|rr} & 3x + 6 \\ \hline 4x - 2 & 12x^2 + 18x - 5 \\ & -(12x^2 - 6x) \\ \hline & 24x - 5 \\ & -(24x - 12) \\ \hline & 7 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{12x^2 + 18x - 5}{4x - 2} = 3x + 6 + \frac{7}{4x - 2} \] 2. Xác định đường tiệm cận xiên: Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), phần dư \( \frac{7}{4x - 2} \) sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = 3x + 6 \] Vậy \( a = 3 \) và \( b = 6 \). 3. Tính \( 2a - 5b \): \[ 2a - 5b = 2(3) - 5(6) = 6 - 30 = -24 \] Đáp số: \[ 2a - 5b = -24 \]