Giúp e với

Câu 7. Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D': - Vectơ $$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh B, nằm trên mặt đáy ABCD. - Vectơ $$ là vectơ chỉ từ đỉnh A' đến đỉnh C', nằm trên mặt đáy A'B'C'D'. Do đó, ta có: - $$ (với $$ là đơn vị vectơ theo phương AB). - $$ (với $$ là đơn vị vectơ theo phương A'B' và $$ là đơn vị vectơ theo phương B'C'). Tích vô hướng của hai vectơ $$ và $$ được tính như sau: $$ Áp dụng công thức tích vô hướng: $$ Biết rằng: $$ $$ Vậy: $$ Nhưng vì cả hai vectơ đều có độ dài bằng cạnh a của hình lập phương, nên ta nhân kết quả này với bình phương của độ dài cạnh a: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 8. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng $$: - $$ - $$ - $$ - $$ Tiếp theo, ta tìm các vectơ $$ và $$: $$ $$ Bây giờ, ta tính tích vô hướng của hai vectơ này: $$ Vậy tích vô hướng của hai vectơ $$ và $$ là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 9. Để tìm tích vô hướng của hai vectơ $$ và $$ trong tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ các điểm: - Chọn hệ tọa độ sao cho A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a/2, a√3/2, 0), D(a/2, a√3/6, a√6/3). - Trung điểm M của CD có tọa độ M((a/2 + a/2)/2, (a√3/2 + a√3/6)/2, (0 + a√6/3)/2) = M(a/2, a√3/3, a√6/6). 2. Tìm tọa độ của các vectơ: - Vectơ $$ = M - B = (a/2 - a, a√3/3 - 0, a√6/6 - 0) = (-a/2, a√3/3, a√6/6). - Vectơ $$ = C - A = (a/2 - 0, a√3/2 - 0, 0 - 0) = (a/2, a√3/2, 0). 3. Tính tích vô hướng: $$ $$ $$ $$ $$ Vậy tích vô hướng của hai vectơ $$ và $$ là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 10. Xét tứ diện ABCD có $$ và $$. Ta sẽ xác định góc giữa cặp vectơ $$ và $$. Trước tiên, ta nhận thấy rằng $$ và $$ đều là tam giác đều vì $$ và các góc $$ và $$ đều bằng $$. Do đó, ta có: $$ $$ Bây giờ, ta xét hình học của tứ diện. Vì $$ và các góc $$ và $$ đều bằng $$, ta có thể suy ra rằng điểm D nằm trên đường thẳng vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng chứa $$. Ta sẽ tính góc giữa hai vectơ $$ và $$. Để làm điều này, ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng $$ và $$. Xét trong mặt phẳng chứa $$, ta có: $$ Tương tự, trong mặt phẳng chứa $$, ta có: $$ Bây giờ, ta xét vectơ $$: $$ Do đó: $$ Vì $$, ta có: $$ Và: $$ Do đó: $$ Kết quả này cho thấy rằng $$ và $$ vuông góc với nhau. Vậy góc giữa cặp vectơ $$ và $$ là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 11. Xét hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và $$. Ta cần xác định góc giữa cặp vectơ $$ và $$. 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: Vì SA = SB = SC nên điểm S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. Tính góc giữa hai vectơ: - Xét tam giác SAB, vì SA = SB và $$ nên tam giác SAB là tam giác đều. - Do đó, góc giữa hai vectơ $$ và $$ là $$. 3. Xác định góc giữa $$ và $$: - Vì S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) đi qua tâm O, nên $$ và $$ tạo thành góc $$. - Mặt khác, $$ nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng SO (vì SO vuông góc với mặt phẳng (ABC)). - Do đó, góc giữa $$ và $$ sẽ là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau trong không gian, và do tính chất của tam giác đều và đường thẳng vuông góc, góc này sẽ là $$. Vậy góc giữa cặp vectơ $$ và $$ là $$. Đáp án đúng là: $$ Câu 12. Để tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và SC trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh: - Vì đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ta có thể đặt tọa độ các đỉnh như sau: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) - Vì các cạnh bên đều bằng a, ta có thể đặt tọa độ đỉnh S như sau: - S(0, 0, a) 2. Tìm tọa độ của các điểm M và N: - M là trung điểm của AD, nên tọa độ của M là: $$ - N là trung điểm của SD, nên tọa độ của N là: $$ 3. Tìm vectơ MN và SC: - Vectơ MN: $$ - Vectơ SC: $$ 4. Tính góc giữa hai vectơ MN và SC: - Tích vô hướng của hai vectơ: $$ - Độ dài của vectơ MN: $$ - Độ dài của vectơ SC: $$ - Tính cos của góc giữa hai vectơ: $$ - Vậy góc $$ là: $$ 5. Kết luận: - Số đo của góc giữa MN và SC là $$. Tuy nhiên, vì góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng $$, nên góc giữa MN và SC là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 13. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tứ diện đều ABCD, tam giác BCD là tam giác đều. Do đó, tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cũng là tâm của tam giác đều này. Điều này có nghĩa là O nằm trên đường cao hạ từ đỉnh D xuống đáy BC của tam giác đều BCD. Tiếp theo, ta xét hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (BCD). Gọi hình chiếu này là H. Vì ABCD là tứ diện đều, nên AH vuông góc với mặt phẳng (BCD). Do đó, AH vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (BCD), bao gồm cả đường thẳng CD. Bây giờ, ta xét tam giác AOD. Vì O là tâm của tam giác đều BCD, nên O nằm chính giữa đường cao hạ từ D xuống BC. Điều này có nghĩa là O nằm trên đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC. Do đó, AO vuông góc với mặt phẳng (BCD) tại điểm O. Từ đây, ta có AO vuông góc với CD. Vậy góc giữa AO và CD là 90°. Đáp án đúng là: C. 90°. Câu 14. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tứ diện ABCD, ta có $$ và $$. Điều này cho thấy rằng AB là đường thẳng vuông góc chung với cả AC và BD. Gọi P là trung điểm của AB và Q là trung điểm của CD. Ta sẽ chứng minh rằng PQ vuông góc với AB. Xét tam giác ABD, ta có P là trung điểm của AB và Q là trung điểm của CD. Do đó, PQ là đường trung bình của tam giác ABD, tức là PQ song song với BD. Tương tự, xét tam giác ABC, ta cũng có P là trung điểm của AB và Q là trung điểm của CD. Do đó, PQ là đường trung bình của tam giác ABC, tức là PQ song song với AC. Vì PQ song song với BD và PQ song song với AC, mà BD và AC đều vuông góc với AB, nên PQ cũng vuông góc với AB. Do đó, góc giữa PQ và AB là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 15. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm và vectơ trong không gian. 1. Xác định vị trí của các điểm: - Vì $$, nên điểm A là tâm của một hình cầu với bán kính bằng AB, AC, AD. - Các góc $$ và $$ cho thấy các điểm B, C, D nằm trên cùng một mặt phẳng với A. 2. Tìm góc giữa các vectơ: - Ta xét vectơ $$ và $$: - $$, do đó góc giữa $$ và $$ là $$. - Ta xét vectơ $$ và $$: - $$, do đó góc giữa $$ và $$ là $$. - Ta xét vectơ $$ và $$: - $$, do đó góc giữa $$ và $$ là $$. 3. Xác định góc giữa $$ và $$: - Ta biết rằng $$. - Ta tính góc giữa $$ và $$: - Ta có $$. - Vì $$, ta có $$. - Vì $$, ta có $$. - Do đó, $$. - Điều này cho thấy $$ vuông góc với $$, tức là góc giữa chúng là $$. Vậy góc giữa cặp vectơ $$ và $$ là $$. Đáp án đúng là B. $$. Câu 16. Trước tiên, ta xét hình học của tứ diện ABCD. Vì hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều, nên ta có: - AB = BC = AC (vì ABC là tam giác đều) - AB = BD = AD (vì ABD là tam giác đều) Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. AB và CD chéo nhau: - Để kiểm tra AB và CD có chéo nhau hay không, ta cần xem xét vị trí của chúng trong không gian. Vì ABC và ABD là các tam giác đều, AB nằm trên cả hai mặt này. CD là đoạn thẳng nối đỉnh C và D, nhưng không nằm trên cùng một mặt với AB. Do đó, AB và CD có thể chéo nhau. B. AB và CD vuông góc với nhau: - Để kiểm tra AB và CD có vuông góc với nhau hay không, ta cần xem xét góc giữa chúng. Vì ABC và ABD là các tam giác đều, AB nằm trên cả hai mặt này. CD là đoạn thẳng nối đỉnh C và D, nhưng không nằm trên cùng một mặt với AB. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy rằng AB và CD vuông góc với nhau. C. AB và CD đồng phẳng: - Để kiểm tra AB và CD có đồng phẳng hay không, ta cần xem xét vị trí của chúng trong không gian. Vì ABC và ABD là các tam giác đều, AB nằm trên cả hai mặt này. CD là đoạn thẳng nối đỉnh C và D, nhưng không nằm trên cùng một mặt với AB. Do đó, AB và CD không đồng phẳng. D. AB và CD cắt nhau: - Để kiểm tra AB và CD có cắt nhau hay không, ta cần xem xét vị trí của chúng trong không gian. Vì ABC và ABD là các tam giác đều, AB nằm trên cả hai mặt này. CD là đoạn thẳng nối đỉnh C và D, nhưng không nằm trên cùng một mặt với AB. Do đó, AB và CD không cắt nhau. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định đúng nhất là: A. AB và CD chéo nhau Đáp án: A. AB và CD chéo nhau Câu 17. Trước tiên, ta xác định góc giữa hai đường thẳng AB' và BC'. Để làm điều này, ta sẽ tìm góc giữa hai vectơ $$ và $$. 1. Tìm tọa độ của các điểm: - Vì ABC là tam giác đều cạnh $$, ta có thể đặt tọa độ của các đỉnh như sau: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C($$, $$, 0) - Vì lăng trụ đều, ta có: - A'(0, 0, $$) - B'(a, 0, $$) - C'($$, $$, $$) 2. Tìm vectơ $$ và $$: - $$ - $$ 3. Tính tích vô hướng $$: $$ 4. Tính độ dài của các vectơ: - $$ - $$ 5. Tính cosin của góc giữa hai vectơ: $$ Vậy $$ Do đó, góc giữa hai đường thẳng AB' và BC' là $$. Đáp án đúng là: $$ Câu 18. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz với gốc tọa độ O tại A và các trục Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các cạnh AB, AD, AA1. - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - D(0, a, 0) - A1(0, 0, a) - B1(a, 0, a) - D1(0, a, a) Gọi M là trung điểm của AD, vậy tọa độ của M là: $$ Tiếp theo, ta tìm các vectơ $$ và $$: $$ $$ Bây giờ, ta tính tích vô hướng $$: $$ $$ $$ $$ Vậy giá trị của $$ là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 19. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm trong hình lập phương ABCD.EFGH. - Điểm A, B, C, D nằm trên mặt đáy của hình lập phương. - Điểm E, F, G, H nằm trên mặt trên của hình lập phương. - Cạnh AB nằm trên mặt đáy và song song với cạnh CD. - Cạnh EG nằm trên mặt trên và song song với cạnh FH. Ta thấy rằng: - Vectơ $$ nằm trên mặt đáy và chỉ hướng từ A đến B. - Vectơ $$ nằm trên mặt trên và chỉ hướng từ E đến G. Do đó, ta có thể xác định rằng: - Mặt đáy và mặt trên của hình lập phương vuông góc với nhau. - Cạnh AB và cạnh EG nằm trên hai mặt vuông góc với nhau. Góc giữa hai vectơ $$ và $$ chính là góc giữa hai đường thẳng nằm trên hai mặt vuông góc với nhau. Do đó, góc giữa hai vectơ này là 90°. Vậy đáp án đúng là: A. 90° Lập luận từng bước: 1. Xác định vị trí của các điểm và vectơ trong hình lập phương. 2. Nhận thấy rằng mặt đáy và mặt trên của hình lập phương vuông góc với nhau. 3. Kết luận rằng góc giữa hai vectơ $$ và $$ là 90° vì chúng nằm trên hai mặt vuông góc với nhau. Câu 20. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ tại A, AB, AD, AA' lần lượt là các trục Ox, Oy, Oz. Giả sử cạnh lập phương là a, ta có: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) - A'(0, 0, a) - B'(a, 0, a) - C'(a, a, a) - D'(0, a, a) M là trung điểm của AD, nên tọa độ của M là: $$ N là trung điểm của BB', nên tọa độ của N là: $$ Ta tìm vector MN: $$ Ta tìm vector AC': $$ Bây giờ, ta tính cosin của góc giữa hai vector này: $$ Tính tích vô hướng: $$ Tính độ dài của các vector: $$ $$ Do đó: $$ Vậy cosin của góc hợp bởi MN và AC' là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 21. Trước tiên, ta xác định các điểm và vectơ cần thiết để tính góc giữa hai đường thẳng AA' và BM. 1. Xác định các điểm và vectơ: - Điểm M là trung điểm của CC', do đó M có tọa độ $$. - Vectơ $$ có tọa độ $$. - Vectơ $$ có tọa độ $$. 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ: $$ 3. Tính độ dài của hai vectơ: $$ $$ 4. Tính cosin góc giữa hai vectơ: $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 23. Ta xét các lựa chọn sau: A. $$ B. $$ C. $$ D. $$ Để tìm đẳng thức đúng, ta sử dụng công thức tính bình phương của một vectơ trong hình học không gian. Ta biết rằng: $$ Từ đây, ta có thể biến đổi để tìm $$: $$ Như vậy, đẳng thức đúng là: $$ Do đó, đáp án đúng là: A. $$ Câu 24. Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan trong hình lập phương ABCD.EFGH. - Vectơ $$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh B, nằm trên mặt đáy ABCD. - Vectơ $$ là vectơ chỉ từ đỉnh E đến đỉnh G, nằm trên mặt bên EFGH. Ta biết rằng trong hình lập phương, các cạnh đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Do đó, ta có thể xác định các thành phần của các vectơ này. - Vectơ $$ có độ dài là a và nằm trên trục Ox (giả sử trục Ox đi qua AB). - Vectơ $$ có độ dài là a và nằm trên trục Oz (giả sử trục Oz đi qua EG). Do đó, ta có: $$ $$ Tích vô hướng của hai vectơ $$ và $$ được tính theo công thức: $$ Thay các thành phần vào công thức: $$ Như vậy, tích vô hướng của $$ và $$ là 0. Đáp án đúng là: $$ Câu 25. Để tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. Mệnh đề A: $$ - $$ là hai lần vectơ từ A đến B. - $$ là vectơ từ B' đến C'. - $$ là vectơ từ C đến D. - $$ là vectơ từ D' đến A'. Trong hình lập phương, ta có: $$ Do đó: $$ Vậy mệnh đề A là sai. Mệnh đề B: $$ - $$ là vectơ từ A đến D'. - $$ là vectơ từ A đến B'. Trong hình lập phương, ta có: $$ $$ Vì góc giữa $$ và $$ là 90°, ta có: $$ $$ Vậy mệnh đề B là sai. Mệnh đề C: $$ - $$ là vectơ từ A đến B. - $$ là vectơ từ C đến D. Trong hình lập phương, ta có: $$ Do đó: $$ Vậy mệnh đề C là đúng. Mệnh đề D: $$ - $$ là vectơ từ A đến C. Trong hình lập phương, ta có: $$ Vậy mệnh đề D là đúng. Tóm lại, mệnh đề sai là: $$ Câu 26. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian và tính toán góc giữa hai đường thẳng. 1. Xác định tọa độ các điểm: - Gọi $$ là gốc tọa độ, $$. - Gọi $$ nằm trên trục $$, $$. - Gọi $$ nằm trên mặt phẳng $$, $$ vì $$. - Gọi $$ nằm trên mặt phẳng $$, $$ vì $$. 2. Áp dụng điều kiện $$: - $$. - $$. - Điều kiện $$: $$ $$ 3. Áp dụng điều kiện $$: - $$. - Điều kiện $$: $$ $$ 4. Giải hệ phương trình: - Từ $$ và $$: $$ $$ $$ $$ Thay $$ vào: $$ $$ $$ $$ Vì $$, nên: $$ 5. Tính góc giữa $$ và $$: - Vector $$. - Vector $$. - Thay $$: $$ - Tính tích vô hướng: $$ - Độ dài vector: $$ $$ - Tính cos góc: $$ Thay $$: $$ $$ $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 27. Trước tiên, ta xác định các thông tin cần thiết từ hình học của tứ diện đều ABCD: 1. Tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng nhau, tức là AB = BC = CD = DA = BD = AC. 2. M là trung điểm của cạnh BC, do đó BM = MC = $$. Ta sẽ tính góc giữa hai đường thẳng AB và DM bằng cách sử dụng công thức cosin của góc giữa hai véc-tơ. Bước 1: Xác định tọa độ của các đỉnh A, B, C, D trong không gian. Giả sử A ở gốc tọa độ (0, 0, 0), B ở (1, 0, 0), C ở (0.5, $$/2, 0), và D ở (0.5, $$/6, $$/3). Bước 2: Tìm tọa độ của M, trung điểm của BC: M = ($$, $$, $$) = (0.75, $$/4, 0). Bước 3: Xác định các véc-tơ AB và DM: AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0). DM = M - D = (0.75, $$/4, 0) - (0.5, $$/6, $$/3) = (0.25, $$/12, -$$/3). Bước 4: Tính tích vô hướng của AB và DM: AB · DM = 1 0.25 + 0 $$/12 + 0 (-$$/3) = 0.25. Bước 5: Tính độ dài của AB và DM: |AB| = $$ = 1. |DM| = $$ = $$ = $$ = $$. Bước 6: Áp dụng công thức cosin của góc giữa hai véc-tơ: cos(AB, DM) = $$ = $$ = $$ = $$ = $$. Vậy đáp án đúng là: B. $$. Câu 28. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $$ và $$, ta sử dụng công thức sau: $$ Trong đó: - $$ là độ dài của vectơ $$, - $$ là độ dài của vectơ $$, - $$ là góc giữa hai vectơ $$ và $$. Theo đề bài, ta có: - $$ - $$ - $$ Bây giờ, ta thay các giá trị này vào công thức: $$ Biết rằng $$, ta có: $$ Rút gọn biểu thức trên: $$ Vậy, tích vô hướng của $$ và $$ là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 29. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $$ và $$ cùng hướng và đều khác vectơ 0, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa hai vectơ: Vì hai vectơ $$ và $$ cùng hướng, nên góc giữa chúng là $$. 2. Công thức tính tích vô hướng: Tích vô hướng của hai vectơ $$ và $$ được tính theo công thức: $$ Trong đó, $$ là độ dài của vectơ $$, $$ là độ dài của vectơ $$, và $$ là góc giữa hai vectơ. 3. Thay giá trị vào công thức: Vì góc giữa hai vectơ là $$, ta có: $$ Do đó, tích vô hướng của $$ và $$ là: $$ 4. Kết luận: Tích vô hướng của $$ và $$ là $$. Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 30. Ta có công thức tính tích vô hướng của hai vectơ $$ và $$ là: $$ Trong đó, $$ là góc giữa hai vectơ $$ và $$. Theo đề bài, ta có: $$ So sánh hai biểu thức trên, ta nhận thấy: $$ Chia cả hai vế cho $$ (vì $$ khác 0 nên $$): $$ Góc $$ mà có $$ là: $$ Vậy góc giữa hai vectơ $$ và $$ là $$. Đáp án đúng là: $$ Câu 31. Để xác định góc $$ giữa hai vectơ $$ và $$, ta sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ: $$ Ta đã biết: $$ $$ $$ Thay các giá trị này vào công thức trên: $$ Tính giá trị của $$: $$ $$ $$ Góc $$ mà có $$ là $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 32. Để xác định góc $$ giữa hai vectơ $$ và $$, ta sẽ sử dụng thông tin về các vectơ $$ và $$ đã cho và điều kiện chúng vuông góc với nhau. Trước tiên, ta biết rằng hai vectơ $$ và $$ vuông góc với nhau, tức là $$. Ta có: $$ $$ Tính tích vô hướng $$: $$ Áp dụng tính chất phân phối của tích vô hướng: $$ Biết rằng $$, suy ra $$ và $$. Thay vào: $$ $$ Gộp các hạng tử liên quan đến $$: $$ $$ $$ $$ Vì $$, ta có: $$ $$ Do đó: $$ $$ Biết rằng $$, thay vào: $$ $$ Vậy góc $$ là: $$ Đáp án đúng là: $$. Câu 33. Để tìm độ dài của vectơ $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính bình phương độ dài của vectơ $$: Ta có: $$ 2. Áp dụng công thức nhân trong tích vô hướng: $$ 3. Tính từng thành phần: - Tích vô hướng $$: $$ - Tích vô hướng $$: $$ - Tích vô hướng $$: $$ 4. Tổng hợp lại: $$ 5. Tìm độ dài của vectơ $$: $$ Vậy đáp án đúng là D. 124. Đáp án: D. 124.