chỉ hộ bài viết

Câu 3: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). a) Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 2. Quan sát đồ thị, điểm cực đại của hàm số nằm trên trục tung tại \( y = 2 \). Do đó, mệnh đề a) đúng. b) Phương trình \( ax^3 + bx^2 + cx + d + 1 = 0 \) có ba nghiệm phân biệt. Phương trình này tương đương với \( f(x) = -1 \). Đồ thị của hàm số \( f(x) \) cắt đường thẳng \( y = -1 \) tại ba điểm phân biệt. Do đó, mệnh đề b) đúng. c) Phương trình \( ax^3 + bx^2 + cx + d - 1 = 0 \) có hai nghiệm thực dương. Phương trình này tương đương với \( f(x) = 1 \). Đồ thị của hàm số \( f(x) \) cắt đường thẳng \( y = 1 \) tại hai điểm có hoành độ dương. Do đó, mệnh đề c) đúng. d) Phương trình \( ax^3 + bx^2 + cx + d + 3 = 0 \) vô nghiệm. Phương trình này tương đương với \( f(x) = -3 \). Đồ thị của hàm số \( f(x) \) không cắt đường thẳng \( y = -3 \). Do đó, mệnh đề d) đúng. Tóm lại, tất cả các mệnh đề a), b), c), d) đều đúng. Câu 4: Để xét tính đúng, sai của các mệnh đề, ta sẽ phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Mệnh đề: $|\overrightarrow a|=0$ Độ dài của vectơ $\overrightarrow a = (1; -3; 2)$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \neq 0. \] Vậy mệnh đề a) là sai. b) Mệnh đề: $\overrightarrow a + \overrightarrow b = (3; 1; 7)$ thì $m = 5$ Tổng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là: \[ \overrightarrow a + \overrightarrow b = (1 + 2, -3 + 4, 2 + m) = (3, 1, 2 + m). \] Theo đề bài, $\overrightarrow a + \overrightarrow b = (3; 1; 7)$, do đó: \[ 2 + m = 7 \Rightarrow m = 5. \] Vậy mệnh đề b) là đúng. c) Mệnh đề: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = -8$ thì $m = 1$ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot 2 + (-3) \cdot 4 + 2 \cdot m = 2 - 12 + 2m = 2m - 10. \] Theo đề bài, $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = -8$, do đó: \[ 2m - 10 = -8 \Rightarrow 2m = 2 \Rightarrow m = 1. \] Vậy mệnh đề c) là đúng. d) Mệnh đề: Có duy nhất một giá trị $m$ thỏa mãn $|\overrightarrow b| = 6$ Độ dài của vectơ $\overrightarrow b = (2; 4; m)$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow b| = \sqrt{2^2 + 4^2 + m^2} = \sqrt{4 + 16 + m^2} = \sqrt{20 + m^2}. \] Theo đề bài, $|\overrightarrow b| = 6$, do đó: \[ \sqrt{20 + m^2} = 6 \Rightarrow 20 + m^2 = 36 \Rightarrow m^2 = 16 \Rightarrow m = \pm 4. \] Có hai giá trị $m$ thỏa mãn là $m = 4$ hoặc $m = -4$. Vậy mệnh đề d) là sai. Tóm lại: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) sai. Câu 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) trên nửa khoảng \([5; +\infty)\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies \frac{1}{x^2} = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Tuy nhiên, vì chúng ta đang xét trên nửa khoảng \([5; +\infty)\), nên các điểm tới hạn này không nằm trong khoảng này. 3. Xét dấu của đạo hàm trên khoảng \([5; +\infty)\): - Ta thấy rằng \( f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \). Trên khoảng \([5; +\infty)\), \( x^2 \geq 25 \), do đó \( \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{25} \). - Vì vậy, \( 1 - \frac{1}{x^2} > 0 \) trên khoảng \([5; +\infty)\). 4. Kết luận về tính đơn điệu của hàm số: - Vì \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \([5; +\infty)\), hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng này. 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng \([5; +\infty)\): - Do hàm số đồng biến trên \([5; +\infty)\), giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ đạt được tại \( x = 5 \). 6. Tính giá trị của hàm số tại \( x = 5 \): \[ f(5) = 5 + \frac{1}{5} = 5 + 0.2 = 5.2 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) trên nửa khoảng \([5; +\infty)\) là \( 5.2 \). Câu 2: Để tìm giá trị của đường tiệm cận ngang của hàm số \( y = f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} \), ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( t \) tiến tới vô cùng. Ta có: \[ f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} \] Khi \( t \to +\infty \), ta xét giới hạn: \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{26t + 10}{t + 5} \] Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho \( t \): \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{26t + 10}{t + 5} = \lim_{t \to +\infty} \frac{26 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} \] Khi \( t \to +\infty \), các số hạng \(\frac{10}{t}\) và \(\frac{5}{t}\) đều tiến tới 0. Do đó, giới hạn trở thành: \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{26 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} = \frac{26 + 0}{1 + 0} = 26 \] Vậy, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = f(t) \) là \( y = 26 \). Giá trị của \( a \) là 26. Câu 3: Giả sử đại lý mua x điện thoại (x là số tự nhiên khác 0 và x < 2000). Giá tiền của mỗi điện thoại là 6000 - 3x (nghìn đồng). Do đó, tổng số tiền mà đại lý phải trả cho hãng điện thoại là: \[ T(x) = x(6000 - 3x) \] Ta cần tìm giá trị của x để T(x) đạt giá trị lớn nhất. Bước 1: Tìm ĐKXĐ - x là số tự nhiên khác 0 và x < 2000. Bước 2: Biến đổi biểu thức T(x) \[ T(x) = x(6000 - 3x) = 6000x - 3x^2 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của T(x) T(x) là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -3 \), \( b = 6000 \), và \( c = 0 \). Vì \( a < 0 \), đồ thị của hàm này là một parabol mở xuống, do đó hàm này đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh. Đỉnh của parabol \( ax^2 + bx + c \) nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ x = -\frac{6000}{2(-3)} = \frac{6000}{6} = 1000 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện - x = 1000 thỏa mãn điều kiện x là số tự nhiên khác 0 và x < 2000. Bước 5: Tính giá trị lớn nhất của T(x) \[ T(1000) = 1000(6000 - 3 \cdot 1000) = 1000 \cdot 3000 = 3000000 \text{ (nghìn đồng)} \] Vậy, đại lý nên nhập 1000 chiếc điện thoại để hãng điện thoại thu về nhiều tiền nhất từ đại lý đó. Đáp số: 1000 chiếc điện thoại. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về vector và tính chất của trung điểm. Bước 1: Tìm vector \(\overrightarrow{MN}\) Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta có: \[ \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \] \[ \overrightarrow{N} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) \] Do đó, vector \(\overrightarrow{MN}\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \] \[ = \frac{1}{2}(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) \] Bước 2: Tìm vector \(\overrightarrow{MP}\) và \(\overrightarrow{MQ}\) Với \(\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\), ta có: \[ \overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{D} \] Do đó, vector \(\overrightarrow{MP}\) là: \[ \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{M} = \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{D}\right) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \] \[ = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right)\overrightarrow{A} + \left(-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{D} \] \[ = -\frac{1}{6}\overrightarrow{A} - \frac{1}{2}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{D} \] Với \(\overrightarrow{BQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\), ta có: \[ \overrightarrow{Q} = \overrightarrow{B} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} \] Do đó, vector \(\overrightarrow{MQ}\) là: \[ \overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{Q} - \overrightarrow{M} = \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C}\right) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \] \[ = \left(-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{A} + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right)\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} \] \[ = -\frac{1}{2}\overrightarrow{A} - \frac{1}{6}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} \] Bước 3: Biểu diễn \(\overrightarrow{MN}\) theo \(\overrightarrow{MP}\) và \(\overrightarrow{MQ}\) Ta có: \[ \overrightarrow{MN} = \alpha \overrightarrow{MP} + \beta \overrightarrow{MQ} \] Thay các biểu thức đã tìm được vào: \[ \frac{1}{2}(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) = \alpha \left(-\frac{1}{6}\overrightarrow{A} - \frac{1}{2}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{D}\right) + \beta \left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{A} - \frac{1}{6}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C}\right) \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được: \[ \alpha = 1, \quad \beta = 1 \] Do đó, tổng \(\alpha + \beta = 1 + 1 = 2\). Vậy, tổng \(\alpha + \beta\) là 2. Câu 5: Để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}(1;-2;1)\) và \(\overrightarrow{v}(-2;1;1)\), ta sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ trong không gian: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|} \] Bước 1: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\). \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -2 - 2 + 1 = -3 \] Bước 2: Tính độ dài của từng vectơ. Độ dài của \(\overrightarrow{u}\): \[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] Độ dài của \(\overrightarrow{v}\): \[ \|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Bước 3: Tính \(\cos \theta\). \[ \cos \theta = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] Bước 4: Tìm góc \(\theta\). Vì \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\), nên \(\theta = 120^\circ\). Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là \(120^\circ\). Câu 6: Ta có: \( P = xyz = xy(2 - x - y) \) Xét trường hợp \( x + y > 2 \). Ta có: \( P = xy(2 - x - y) < xy \cdot 0 = 0 \) Suy ra \( P < 0 \). Vậy loại trường hợp này. Xét trường hợp \( x + y \leq 2 \). Ta có: \( P = xy(2 - x - y) \leq xy \left[ \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 \right] \) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \( x = y = 2 - x - y \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{3} \) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: \( xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 \leq \left(\frac{\frac{2}{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{9} \) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \( x = y = \frac{2}{3} \) Vậy giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \frac{1}{9} \) khi và chỉ khi \( x = y = \frac{2}{3} \) Do đó \( 2a + b = 2 \cdot 1 + 9 = 11 \) Đáp án: 11