cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1/2,xy+yz+xz=2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(x+y)(y+z)(z+x). Giải dễ hiểu nha bạn

Ta có: \[ P = (x + y)(y + z)(z + x) \] \[ = (x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz \] Thay \( xy + yz + zx = 2 \) và \( xyz = \frac{1}{2} \) vào biểu thức trên ta được: \[ P = (x + y + z) \cdot 2 - \frac{1}{2} \] \[ = 2(x + y + z) - \frac{1}{2} \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( x + y + z \). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương \( x, y, z \): \[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \] \[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \] \[ x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \] Do đó: \[ 2(x + y + z) \geq 2 \cdot 3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \] \[ 2(x + y + z) \geq 6 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \] Vậy: \[ P \geq 6 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \] Tính giá trị cụ thể: \[ \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \approx 0.7937 \] \[ 6 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \approx 6 \times 0.7937 = 4.7622 \] \[ P \geq 4.7622 - 0.5 = 4.2622 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là: \[ P_{min} = 4.2622 \] Đáp số: \( P_{min} = 4.2622 \)