Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
13/11/2024
14/11/2024
Với $\displaystyle x,y,z,a,b,c >0$ ta chứng minh:
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a} +\frac{y^{2}}{b} +\frac{z^{2}}{c} \geqslant \frac{( x+y+z)^{2}}{a+b+c}$
Ta có:
$\displaystyle ( a+b+c)\left(\frac{x^{2}}{a} +\frac{y^{2}}{b} +\frac{z^{2}}{c}\right) =\left[\left(\sqrt{a}\right)^{2} +\left(\sqrt{b} .\right)^{2} +\left(\sqrt{c}\right)^{2}\right]\left[\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)^{2} +\left(\frac{y}{\sqrt{b}}\right)^{2} +\left(\frac{z}{\sqrt{c}}\right)^{2}\right]$
Áp dụng BĐT Bunhicopski cho $\displaystyle x,y,z,a,b,c >0$ ta được:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\left[\left(\sqrt{a}\right)^{2} +\left(\sqrt{b} .\right)^{2} +\left(\sqrt{c}\right)^{2}\right]\left[\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)^{2} +\left(\frac{y}{\sqrt{b}}\right)^{2} +\left(\frac{z}{\sqrt{c}}\right)^{2}\right]\\
\geqslant \left(\sqrt{a} .\frac{x}{\sqrt{a}} +\sqrt{b} .\frac{y}{\sqrt{b}} +\sqrt{c} .\frac{z}{\sqrt{c}}\right)^{2} =( x+y+z)^{2}\\
\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a} +\frac{y^{2}}{b} +\frac{z^{2}}{c} \geqslant \frac{( x+y+z)^{2}}{a+b+c}
\end{array}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle \frac{a}{x} =\frac{b}{y} =\frac{c}{z}$
Áp dụng BĐT vừa chứng minh trên ta được:
$\displaystyle \frac{x^{3}}{y} +\frac{y^{3}}{z} +\frac{z^{3}}{x} =\frac{x^{4}}{xy} +\frac{y^{4}}{zy} +\frac{z^{4}}{xz} \geqslant \frac{\left( x^{2} +y^{2} +z^{2}\right)}{xy+xz+yz} \ ( 1)$
Mà $\displaystyle x^{2} +y^{2} +z^{2} =1,\ xy+xz+yz\ \leqslant x^{2} +y^{2} +z^{2}$
Suy ra: $\displaystyle ( 1) \Leftrightarrow \frac{x^{3}}{y} +\frac{y^{3}}{z} +\frac{z^{3}}{x} \geqslant \frac{1}{x^{2} +y^{2} +z^{2}} =1$
Dấu "=" xảy ra khi $\displaystyle x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
1 giờ trước
2 giờ trước
Top thành viên trả lời