Giúp mình với!

Để tìm tham số \( m \) sao cho phương trình \( x^2 - 2x + m - 3 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2 + 3x_2 = -m + 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm. Phương trình \( x^2 - 2x + m - 3 = 0 \) có hai nghiệm khi và chỉ khi \( \Delta \geq 0 \). \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(m - 3) = 4 - 4(m - 3) = 4 - 4m + 12 = 16 - 4m \] \[ \Delta \geq 0 \Rightarrow 16 - 4m \geq 0 \Rightarrow 4m \leq 16 \Rightarrow m \leq 4 \] Bước 2: Áp dụng hệ thức Viète. Theo hệ thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 x_2 = m - 3 \] Bước 3: Thay \( x_1^2 + 3x_2 = -m + 3 \) vào phương trình. Ta có: \[ x_1^2 + 3x_2 = -m + 3 \] Bước 4: Biểu diễn \( x_1^2 \) theo \( x_1 \) và \( x_2 \). Từ phương trình ban đầu \( x_1^2 - 2x_1 + m - 3 = 0 \), ta có: \[ x_1^2 = 2x_1 - m + 3 \] Thay vào phương trình \( x_1^2 + 3x_2 = -m + 3 \): \[ 2x_1 - m + 3 + 3x_2 = -m + 3 \] \[ 2x_1 + 3x_2 = 0 \] Bước 5: Giải hệ phương trình. Ta có hai phương trình: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ 2x_1 + 3x_2 = 0 \] Giải hệ phương trình này: Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 2x_1 + 2x_2 = 4 \] Lấy phương trình này trừ đi phương trình thứ hai: \[ (2x_1 + 2x_2) - (2x_1 + 3x_2) = 4 - 0 \] \[ -x_2 = 4 \] \[ x_2 = -4 \] Thay \( x_2 = -4 \) vào phương trình \( x_1 + x_2 = 2 \): \[ x_1 - 4 = 2 \] \[ x_1 = 6 \] Bước 6: Kiểm tra điều kiện \( m \leq 4 \). Theo hệ thức Viète: \[ x_1 x_2 = m - 3 \] \[ 6 \times (-4) = m - 3 \] \[ -24 = m - 3 \] \[ m = -21 \] Vậy tham số \( m \) cần tìm là \( m = -21 \). Đáp số: \( m = -21 \) Câu 4 1. Chiều cao của cột điện: Gọi chiều cao của cột điện là h (m). Ta có: $\tan(35^0) = \frac{h}{8,2}$ Suy ra: $h = 8,2 \times \tan(35^0)$ $h \approx 5,7$ (m) Vậy chiều cao của cột điện là 5,7 m. 2. Chứng minh tứ giác MDHE nội tiếp một đường tròn: - Ta có $\widehat{MND} = \widehat{MPE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ME). - Suy ra tứ giác MDHE nội tiếp một đường tròn (cùng chắn cung ME). 3. Chứng minh $\widehat{IDE} = \widehat{HFD}$ và NK vuông góc với IP: - Ta có $\widehat{IDE} = \widehat{HME}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung IE). - Ta có $\widehat{HFD} = \widehat{HME}$ (góc ngoài tam giác HMF bằng tổng hai góc trong không kề). - Suy ra $\widehat{IDE} = \widehat{HFD}$. - Ta có $\widehat{NKF} = \widehat{NHF}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung NF). - Suy ra NK vuông góc với IP (góc nội tiếp cùng chắn cung NF). Câu 5: Để chứng minh rằng $\frac{x^3}{x^2 + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + x^2} \geq 1$ khi $x^2 + y^2 + z^2 \geq 1$, ta sẽ sử dụng phương pháp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng phân thức. Ta có: \[ \left( \frac{x^3}{x^2 + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + x^2} \right) \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \geq (x + y + z)^2 \] Bước 2: Biến đổi và sử dụng điều kiện đã cho. Do $x^2 + y^2 + z^2 \geq 1$, ta có: \[ \left( \frac{x^3}{x^2 + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + x^2} \right) \cdot 1 \geq (x + y + z)^2 \] \[ \frac{x^3}{x^2 + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + x^2} \geq (x + y + z)^2 \] Bước 3: Chứng minh $(x + y + z)^2 \geq 1$. Vì $x^2 + y^2 + z^2 \geq 1$, theo bất đẳng thức AM-GM ta có: \[ (x + y + z)^2 \geq 3(xy + yz + zx) \] Mặt khác, do $x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx$, nên: \[ (x + y + z)^2 \geq 3(xy + yz + zx) \geq 3 \cdot \frac{(x^2 + y^2 + z^2)}{3} = x^2 + y^2 + z^2 \geq 1 \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{x^3}{x^2 + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + x^2} \geq 1 \] Đáp số: $\frac{x^3}{x^2 + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + x^2} \geq 1$.