Câu 5 từ câu d tới hết th ạ + câu 6

Câu 5 d) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). e) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). f) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). g) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). h) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). i) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). j) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). k) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). l) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). m) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). n) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). o) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). p) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). q) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). r) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). s) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). t) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). u) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). v) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). w) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). x) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). y) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). z) Ta có: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x} \] Phương trình này đúng với mọi \(x \neq 0\). Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta có thể sử dụng phương pháp sau: 1. Chọn hai trong ba điểm và tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 2. Thay tọa độ của điểm thứ ba vào phương trình đường thẳng đã tìm được. 3. Nếu tọa độ của điểm thứ ba thỏa mãn phương trình đường thẳng, thì ba điểm thẳng hàng. Để chứng minh các đường thẳng đồng quy, ta có thể sử dụng phương pháp sau: 1. Giải hệ phương trình của hai đường thẳng bất kỳ để tìm giao điểm của chúng. 2. Thay tọa độ giao điểm vào phương trình của đường thẳng còn lại. 3. Nếu tọa độ giao điểm thỏa mãn phương trình của đường thẳng còn lại, thì ba đường thẳng đồng quy tại điểm đó. Ví dụ: Chứng minh ba điểm A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6) thẳng hàng. 1. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B: - Vector AB = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2). - Phương trình đường thẳng đi qua A(1, 2) và có vector pháp tuyến (2, 2) là: \[ 2(x - 1) + 2(y - 2) = 0 \implies 2x + 2y - 6 = 0 \implies x + y - 3 = 0. \] 2. Thay tọa độ của điểm C(5, 6) vào phương trình đường thẳng: \[ 5 + 6 - 3 = 8 \neq 0. \] Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Chứng minh ba đường thẳng \(d_1: x + y = 3\), \(d_2: 2x - y = 1\), \(d_3: x - 2y = -1\) đồng quy. 1. Giải hệ phương trình của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\): \[ \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \] Cộng hai phương trình: \[ 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}. \] Thay \(x = \frac{4}{3}\) vào \(x + y = 3\): \[ \frac{4}{3} + y = 3 \implies y = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9}{3} - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}. \] Vậy giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\) là \(\left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}\right)\). 2. Thay tọa độ giao điểm \(\left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}\right)\) vào phương trình của đường thẳng \(d_3\): \[ \frac{4}{3} - 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{6}{3} = -2 \neq -1. \] Do đó, ba đường thẳng \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) không đồng quy. Bài 5. a) Ta có E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Do đó, AE = EB và CF = FD. Trong hình bình hành ABCD, ta có AB // CD và AB = CD. Vì E và F là trung điểm của AB và CD, nên EF // AD và EF = $\frac{1}{2}$AD. Do đó, ta có ED // BF vì cả hai đường thẳng này đều song song với đường chéo AC của hình bình hành ABCD. b) Ta có E và F là trung điểm của AB và CD, nên EF // AD và EF = $\frac{1}{2}$AD. Trong hình bình hành ABCD, ta có AB = CD và AB // CD. Vì E và F là trung điểm của AB và CD, nên EF = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$CD. Do đó, ta có ED = BF vì cả hai đoạn thẳng này đều bằng $\frac{1}{2}$AC. c) Ta có O là giao điểm của AC và BD. Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD, nên O là trung điểm của cả hai đường chéo AC và BD. Trong tam giác AOD, ta có E là trung điểm của AO và F là trung điểm của DO. Do đó, EF // AD và EF = $\frac{1}{2}$AD. Trong tam giác BOC, ta có E là trung điểm của BO và F là trung điểm của CO. Do đó, EF // BC và EF = $\frac{1}{2}$BC. Do đó, ta có E, O, F thẳng hàng vì cả ba điểm này đều nằm trên đường thẳng EF. d) Ta có AF cắt ED tại G và BF cắt EC tại H. Vì E, O, F thẳng hàng, nên G và H cũng thẳng hàng với E, O, F. Do đó, ta có G, H, E, F thẳng hàng vì cả bốn điểm này đều nằm trên đường thẳng EF. e) Ta có G, H, E, F thẳng hàng. Vì EF // AD và EF // BC, nên GH // CD. f) Ta có AB = 4 cm. Vì E và F là trung điểm của AB và CD, nên EF = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$ × 4 cm = 2 cm. Trong tam giác AOD, ta có E là trung điểm của AO và F là trung điểm của DO. Do đó, EF // AD và EF = $\frac{1}{2}$AD. Trong tam giác BOC, ta có E là trung điểm của BO và F là trung điểm của CO. Do đó, EF // BC và EF = $\frac{1}{2}$BC. Do đó, ta có GH = EF = 2 cm. Đáp số: GH = 2 cm. Bài 6. a) Ta có: $ABCD$ là hình bình hành nên $AB=CD;AD=BC;AB//CD$ Mà $AN=CM$ nên $BN=DM$ Xét $\Delta ANB$ và $\Delta CMD$ có: $AN=CM; \widehat{A}=\widehat{C}; BN=DM$ Nên $\Delta ANB=\Delta CMD(c-a-c)$ Suy ra: $\widehat{ANB}=\widehat{CMD}$ Mà hai góc này so le trong nên $AM//CN$ b) Xét $\Delta AND$ và $\Delta CMB$ có: $AN=CM; \widehat{A}=\widehat{C}; AD=CB$ Nên $\Delta AND=\Delta CMB(c-a-c)$ Suy ra: $DN=BM$ c) Ta có: $\Delta AND=\Delta CMB$ nên $\widehat{AND}=\widehat{CMB}$ Mà hai góc này so le trong nên $ND//MB$ Xét $\Delta NDB$ có $AC$ cắt $ND$ tại $O_{1}$ và $AC$ cắt $MB$ tại $O_{2}$ Ta có: $\widehat{NO_{1}D}=\widehat{BO_{2}M}(so~le~trong)$ $\widehat{OND}=\widehat{OMB}(đối đỉnh)$ Nên $\Delta NO_{1}D=\Delta BO_{2}M(a-a)$ Suy ra: $O_{1}D=O_{2}B$ Mà $BD=BD$ nên $O_{1}D=O_{2}B=\frac{BD}{2}$ Vậy $O_{1}$ trùng với $O_{2}$ suy ra $AC,BD,MN$ đồng quy.