Grhebdbdbsme

Câu 6. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x-1}{x+1} \) trên đoạn \([0;3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x-1}{x+1} \right)' = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2} \] 2. Xét dấu đạo hàm: \[ y' = \frac{2}{(x+1)^2} > 0 \quad \text{với mọi } x \neq -1 \] Do đó, hàm số \( y = \frac{x-1}{x+1} \) là hàm số đồng biến trên đoạn \([0;3]\). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{0-1}{0+1} = -1 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = \frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( y(0) = -1 \) - \( y(3) = \frac{1}{2} \) Trong hai giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( -1 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x-1}{x+1} \) trên đoạn \([0;3]\) là: \[ \boxed{-1} \] Câu 7. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \), ta có thể xác định các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số như sau: 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = a \) sao cho \( \lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty \) hoặc \( \lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty \). - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to -1^+ \), \( f(x) \to +\infty \). - Khi \( x \to 1^- \), \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to 1^+ \), \( f(x) \to +\infty \). - Vậy hàm số có ba tiệm cận đứng là \( x = -1 \), \( x = 1 \). 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang là đường thẳng \( y = b \) sao cho \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = b \) hoặc \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = b \). - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to 2 \). - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to 2 \). - Vậy hàm số có một tiệm cận ngang là \( y = 2 \). Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: \[ 3 \text{ (tiệm cận đứng)} + 1 \text{ (tiệm cận ngang)} = 4 \] Đáp án đúng là: C. 4. Câu 8. Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x + 1}{x - 5} \), ta cần xác định giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0 vì tại những điểm này hàm số không xác định và có thể có đường tiệm cận đứng. Bước 1: Xác định giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0. \[ x - 5 = 0 \] \[ x = 5 \] Bước 2: Kiểm tra xem khi \( x \) tiến đến 5 thì giá trị của hàm số \( y \) tiến đến đâu. Khi \( x \) tiến đến 5 từ bên trái (\( x \to 5^- \)): \[ y = \frac{3x + 1}{x - 5} \to -\infty \] Khi \( x \) tiến đến 5 từ bên phải (\( x \to 5^+ \)): \[ y = \frac{3x + 1}{x - 5} \to +\infty \] Như vậy, khi \( x \) tiến đến 5, giá trị của \( y \) tiến đến vô cùng, cho thấy đường thẳng \( x = 5 \) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là: C. \( x = 5 \). Câu 9. Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một để xem nó có thỏa mãn các đặc điểm của đồ thị đã cho hay không. 1. Kiểm tra giới hạn: - Đồ thị có đường tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). Điều này có nghĩa là mẫu số của hàm số phải bằng 0 khi \( x = -1 \). - Đồ thị có đường tiệm cận ngang tại \( y = 2 \). Điều này có nghĩa là khi \( x \) tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng, giá trị của hàm số tiến đến 2. 2. Kiểm tra từng hàm số: A. \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) - Mẫu số \( x + 1 = 0 \) khi \( x = -1 \). Điều này đúng với đường tiệm cận đứng. - Giới hạn khi \( x \to \infty \): \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2 \). Điều này đúng với đường tiệm cận ngang. B. \( y = \frac{x + 1}{x - 2} \) - Mẫu số \( x - 2 = 0 \) khi \( x = 2 \). Điều này sai vì đường tiệm cận đứng phải là \( x = -1 \). C. \( y = \frac{2x - 1}{x - 1} \) - Mẫu số \( x - 1 = 0 \) khi \( x = 1 \). Điều này sai vì đường tiệm cận đứng phải là \( x = -1 \). D. \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) - Mẫu số \( x + 1 = 0 \) khi \( x = -1 \). Điều này đúng với đường tiệm cận đứng. - Giới hạn khi \( x \to \infty \): \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2 \). Điều này đúng với đường tiệm cận ngang. Từ các kiểm tra trên, cả hai hàm số A và D đều thỏa mãn các điều kiện về đường tiệm cận đứng và ngang. Tuy nhiên, chúng ta cần kiểm tra thêm các đặc điểm khác của đồ thị để xác định chính xác. 3. Kiểm tra giá trị hàm số tại một điểm cụ thể: - Chọn \( x = 0 \): - Đối với \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \): \( y = \frac{2(0) + 1}{0 + 1} = 1 \). - Đối với \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \): \( y = \frac{2(0) - 1}{0 + 1} = -1 \). Do đó, đồ thị của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) sẽ đi qua điểm \( (0, 1) \), còn đồ thị của hàm số \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) sẽ đi qua điểm \( (0, -1) \). Nhìn vào đồ thị, ta thấy rằng đồ thị đi qua điểm \( (0, 1) \). Do đó, hàm số đúng là: \[ \boxed{A. \ y = \frac{2x + 1}{x + 1}} \] Câu 10. Để xác định hàm số có bảng biến thiên như trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho và so sánh với các đặc điểm trong bảng biến thiên. A. \( y = x^3 - 3x \) - Tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 3 \) - Tìm điểm cực đại và cực tiểu: \( y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) - Kiểm tra dấu đạo hàm: - \( y' > 0 \) khi \( x < -1 \) hoặc \( x > 1 \) - \( y' < 0 \) khi \( -1 < x < 1 \) - Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \) và cực tiểu tại \( x = 1 \). Điều này phù hợp với bảng biến thiên. B. \( y = -x^3 + 3x \) - Tính đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 3 \) - Tìm điểm cực đại và cực tiểu: \( y' = 0 \Rightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) - Kiểm tra dấu đạo hàm: - \( y' > 0 \) khi \( -1 < x < 1 \) - \( y' < 0 \) khi \( x < -1 \) hoặc \( x > 1 \) - Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -1 \) và cực đại tại \( x = 1 \). Điều này không phù hợp với bảng biến thiên. C. \( y = x^2 - 2x \) - Tính đạo hàm: \( y' = 2x - 2 \) - Tìm điểm cực đại và cực tiểu: \( y' = 0 \Rightarrow 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) - Kiểm tra dấu đạo hàm: - \( y' < 0 \) khi \( x < 1 \) - \( y' > 0 \) khi \( x > 1 \) - Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \). Điều này không phù hợp với bảng biến thiên. D. \( y = -x^2 + 2x \) - Tính đạo hàm: \( y' = -2x + 2 \) - Tìm điểm cực đại và cực tiểu: \( y' = 0 \Rightarrow -2x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) - Kiểm tra dấu đạo hàm: - \( y' > 0 \) khi \( x < 1 \) - \( y' < 0 \) khi \( x > 1 \) - Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). Điều này không phù hợp với bảng biến thiên. Từ các phân tích trên, chỉ có hàm số \( y = x^3 - 3x \) có bảng biến thiên đúng như yêu cầu. Đáp án: A. \( y = x^3 - 3x \)