Giup minh vii âu 3: CCh hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên R và bảng xét dấu đạo hàm như sau:,,ìm m để hàm số $y=f(x^3+4x+m)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;1)?$,âu 4: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2-6x+2m}}$ có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử,ia S là:,âu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=|3x^5-25x^3+60x+m|$ có 7 điểm cực trị?,âu 6: Cho hàm số $f(x)=m\sqrt{x-1}.$ Gọi $m_1,m_2$ là hai giá trị của m thỏa mãn $\min_{[2;5]}f(x)+\max_{[2;5]}f(x)=m^2-10.$ Tính,$t+m_2$

Question

Giup minh vii âu 3: CCh hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên R và bảng xét dấu đạo hàm như sau:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/91c56a3736f94dabaa016a2141fc94b6.jpg />,ìm m để hàm số $y=f(x^3+4x+m)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;1)?$,âu 4: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2-6x+2m}}$ có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử,ia S là:,âu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=|3x^5-25x^3+60x+m|$ có 7 điểm cực trị?,âu 6: Cho hàm số $f(x)=m\sqrt{x-1}.$ Gọi $m_1,m_2$ là hai giá trị của m thỏa mãn $\min_{[2;5]}f(x)+\max_{[2;5]}f(x)=m^2-10.$ Tính,$t+m_2$

meomeo173 · Accepted Answer

Câu 3
Theo bảng biến thiên ta có hàm $\displaystyle f( x)$ có 2 điểm cực trị là $\displaystyle x=-2\ ;\ x=8$
$\displaystyle f( x)$ đồng biến trên $\displaystyle ( -\infty ;-2) \cup ( 8;+\infty )$; hàm số nghịch biến trên $\displaystyle ( -2;8)$
$\displaystyle g( x) =f\left( x^{3} +4x+m ight) \Longrightarrow g'( x) =\left( 3x^{2} +4 ight) f'\left( x^{3} +4x+m ight)$
$\displaystyle g( x)$ nghịch biến trên $\displaystyle ( -1;1)$ $\displaystyle \Leftrightarrow g'( x) < 0\ \forall x\in ( -1;1)$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow f'\left( x^{3} +4x+m ight) \leqslant 0\ \ \ \forall x\in ( -1;1)\
Đặt\ \ x^{3} +4x+m=t\ \Longrightarrow t\in ( m-5;m+5) \ \ \ \forall x\in ( -1;1)\
\Longrightarrow f'( t) \leqslant 0\ \ \ \ \ \ \forall t\in ( m-5;m+5) \ \
\Longrightarrow -2\leqslant m-5< m+5\leqslant 8\
\Longrightarrow 3\leqslant m\leqslant 3\
\Longrightarrow m=3
\end{array}$
Vậy $\displaystyle m=3$

Timi · Answer

Câu 3: Để hàm số $y = f(x^3 + 4x + m)$ nghịch biến trên khoảng $(-1, 1)$, ta cần đạo hàm của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên khoảng này. Ta có: $$ y' = f'(x^3 + 4x + m) \cdot (3x^2 + 4) $$ Để $y'$ nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên khoảng $(-1, 1)$, ta cần: $$ f'(x^3 + 4x + m) \leq 0 \quad \text{và} \quad 3x^2 + 4 > 0 $$ Từ bảng xét dấu đạo hàm của $f(x)$, ta thấy $f'(x) \leq 0$ khi $x \leq -1$ hoặc $x \geq 2$. Do đó, ta cần: $$ x^3 + 4x + m \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x^3 + 4x + m \geq 2 $$ Trên khoảng $(-1, 1)$, ta có: $$ -1 < x < 1 $$ $$ -1 < x^3 < 1 $$ $$ -4 < 4x < 4 $$ $$ -5 < x^3 + 4x < 5 $$ Do đó, để $x^3 + 4x + m \leq -1$, ta cần: $$ m \leq -1 - x^3 - 4x $$ Và để $x^3 + 4x + m \geq 2$, ta cần: $$ m \geq 2 - x^3 - 4x $$ Vì $x^3 + 4x$ đạt giá trị lớn nhất là 5 và nhỏ nhất là -5 trên khoảng $(-1, 1)$, ta có: $$ m \leq -1 - (-5) = 4 $$ $$ m \geq 2 - 5 = -3 $$ Vậy $m$ phải thỏa mãn: $$ -3 \leq m \leq 4 $$ Câu 4: Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2 - 6x + 2m}}$ có hai đường tiệm cận đứng khi mẫu số bằng 0 tại hai giá trị khác nhau của $x$. Ta có: $$ x^2 - 6x + 2m = 0 $$ Phương trình này có hai nghiệm phân biệt khi: $$ \Delta = 36 - 8m > 0 $$ $$ m < \frac{9}{2} $$ Vì $m$ là số nguyên, ta có các giá trị $m$ là: $m = 0, 1, 2, 3, 4$ Vậy tập hợp $S$ có 5 phần tử. Câu 5: Hàm số $y = |3x^5 - 25x^3 + 60x + m|$ có 7 điểm cực trị khi hàm số $g(x) = 3x^5 - 25x^3 + 60x + m$ có 6 điểm cực trị. Ta có: $$ g'(x) = 15x^4 - 75x^2 + 60 $$ Để $g'(x) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt, ta cần: $$ 15(x^4 - 5x^2 + 4) = 0 $$ $$ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 $$ $$ (x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0 $$ $$ x = \pm 1, \pm 2 $$ Vậy $g(x)$ có 6 điểm cực trị khi $m$ là giá trị sao cho $g(x)$ có 6 điểm cực trị. Ta có 3 giá trị của $m$ là: $$ m = -32, 0, 32 $$ Câu 6: Ta có: $$ f(x) = m\sqrt{x-1} $$ Đạo hàm của $f(x)$ là: $$ f'(x) = \frac{m}{2\sqrt{x-1}} $$ Trên đoạn $[2, 5]$, ta có: $$ f(2) = m $$ $$ f(5) = 2m $$ Vì $f(x)$ là hàm số đồng biến, ta có: $$ \min_{[2,5]} f(x) = m $$ $$ \max_{[2,5]} f(x) = 2m $$ Theo đề bài, ta có: $$ m + 2m = m^2 - 10 $$ $$ 3m = m^2 - 10 $$ $$ m^2 - 3m - 10 = 0 $$ $$ (m - 5)(m + 2) = 0 $$ Vậy $m = 5$ hoặc $m = -2$. Vậy $m_1 + m_2 = 5 + (-2) = 3$. Đáp số: $$ \boxed{3} $$