trả luời câu hỏi trên🐧

Câu 1: Xác định m để hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 4x + 2m - 5} \) có miền xác định theo yêu cầu. a. Xác định \( m \) để hàm số có miền xác định là \( \forall x \in \mathbb{R} \) Để hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 4x + 2m - 5} \) có miền xác định là \( \forall x \in \mathbb{R} \), biểu thức dưới dấu căn phải luôn lớn hơn hoặc bằng 0 cho mọi \( x \): \[ x^2 - 4x + 2m - 5 \geq 0 \] Ta xét tam thức bậc hai \( f(x) = x^2 - 4x + 2m - 5 \). Để \( f(x) \geq 0 \) cho mọi \( x \), tam thức này phải có biệt thức \( \Delta \leq 0 \): \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 5) = 16 - 8m + 20 = 36 - 8m \] \[ 36 - 8m \leq 0 \] \[ 8m \geq 36 \] \[ m \geq \frac{9}{2} \] Vậy \( m \geq \frac{9}{2} \) để hàm số có miền xác định là \( \forall x \in \mathbb{R} \). b. Xác định \( m \) để hàm số có miền xác định là \( \forall x \in [-5, -3] \) Để hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 4x + 2m - 5} \) có miền xác định là \( \forall x \in [-5, -3] \), biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0 trong khoảng này: \[ x^2 - 4x + 2m - 5 \geq 0 \quad \text{cho mọi } x \in [-5, -3] \] Ta xét giá trị của biểu thức tại các điểm đầu mút của khoảng: - Tại \( x = -5 \): \[ (-5)^2 - 4(-5) + 2m - 5 = 25 + 20 + 2m - 5 = 40 + 2m \geq 0 \] \[ 2m \geq -40 \] \[ m \geq -20 \] - Tại \( x = -3 \): \[ (-3)^2 - 4(-3) + 2m - 5 = 9 + 12 + 2m - 5 = 16 + 2m \geq 0 \] \[ 2m \geq -16 \] \[ m \geq -8 \] Vì \( m \geq -8 \) là điều kiện mạnh hơn \( m \geq -20 \), nên ta chọn \( m \geq -8 \). Vậy \( m \geq -8 \) để hàm số có miền xác định là \( \forall x \in [-5, -3] \). c. Xác định \( m \) để hàm số có miền xác định là \( \forall x \in [3, \infty) \) Để hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 4x + 2m - 5} \) có miền xác định là \( \forall x \in [3, \infty) \), biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0 trong khoảng này: \[ x^2 - 4x + 2m - 5 \geq 0 \quad \text{cho mọi } x \in [3, \infty) \] Ta xét giá trị của biểu thức tại điểm đầu mút của khoảng: - Tại \( x = 3 \): \[ 3^2 - 4(3) + 2m - 5 = 9 - 12 + 2m - 5 = -8 + 2m \geq 0 \] \[ 2m \geq 8 \] \[ m \geq 4 \] Vậy \( m \geq 4 \) để hàm số có miền xác định là \( \forall x \in [3, \infty) \). Câu 2: Xác định m để hàm số \( y = \sqrt{(x^2 - 4x + 1)^2 - 2(x^2 - 4x + 3) + m} \) có miền xác định theo yêu cầu. a. Xác định \( m \) để hàm số có miền xác định là \( \forall x \in \mathbb{R} \) Để hàm số \( y = \sqrt{(x^2 - 4x + 1)^2 - 2(x^2 - 4x + 3) + m} \) có miền xác định là \( \forall x \in \mathbb{R} \), biểu thức dưới dấu căn phải luôn lớn hơn hoặc bằng 0 cho mọi \( x \): \[ (x^2 - 4x + 1)^2 - 2(x^2 - 4x + 3) + m \geq 0 \] Ta xét biểu thức \( f(x) = (x^2 - 4x + 1)^2 - 2(x^2 - 4x + 3) + m \). Để \( f(x) \geq 0 \) cho mọi \( x \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \). Biểu thức \( (x^2 - 4x + 1)^2 \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0, và biểu thức \( -2(x^2 - 4x + 3) \) cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0 khi \( x^2 - 4x + 3 \leq 0 \). Do đó, ta cần \( m \geq 0 \) để đảm bảo biểu thức luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Vậy \( m \geq 0 \) để hàm số có miền xác định là \( \forall x \in \mathbb{R} \). b. Xác định \( m \) để hàm số có miền xác định là \( \forall x \in [-1, 2] \) Để hàm số \( y = \sqrt{(x^2 - 4x + 1)^2 - 2(x^2 - 4x + 3) + m} \) có miền xác định là \( \forall x \in [-1, 2] \), biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0 trong khoảng này: \[ (x^2 - 4x + 1)^2 - 2(x^2 - 4x + 3) + m \geq 0 \quad \text{cho mọi } x \in [-1, 2] \] Ta xét giá trị của biểu thức tại các điểm đầu mút của khoảng: - Tại \( x = -1 \): \[ ((-1)^2 - 4(-1) + 1)^2 - 2((-1)^2 - 4(-1) + 3) + m = (1 + 4 + 1)^2 - 2(1 + 4 + 3) + m = 6^2 - 2 \cdot 8 + m = 36 - 16 + m = 20 + m \geq 0 \] \[ m \geq -20 \] - Tại \( x = 2 \): \[ (2^2 - 4(2) + 1)^2 - 2(2^2 - 4(2) + 3) + m = (4 - 8 + 1)^2 - 2(4 - 8 + 3) + m = (-3)^2 - 2(-1) + m = 9 + 2 + m = 11 + m \geq 0 \] \[ m \geq -11 \] Vì \( m \geq -11 \) là điều kiện mạnh hơn \( m \geq -20 \), nên ta chọn \( m \geq -11 \). Vậy \( m \geq -11 \) để hàm số có miền xác định là \( \forall x \in [-1, 2] \).