Giai bai toan

Để giải quyết các câu hỏi về đại lượng vectơ, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần b) $\overrightarrow{d} = [\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]$ Phương pháp: - Tính tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ để tìm vectơ $\overrightarrow{d}$. Giải chi tiết: - Giả sử $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)$ và $\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)$. - Tích có hướng $\overrightarrow{d} = [\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]$ được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{d} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) \] Phần c) $\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = (0, 4, 5)$ Phương pháp: - Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ dưới dạng $(a_1, a_2, a_3)$ và $(b_1, b_2, b_3)$. - Tính tổng của $\overrightarrow{a}$ và $2\overrightarrow{b}$. Giải chi tiết: - Giả sử $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)$ và $\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)$. - Ta có: \[ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = (a_1 + 2b_1, a_2 + 2b_2, a_3 + 2b_3) \] - Theo đề bài, ta có: \[ (a_1 + 2b_1, a_2 + 2b_2, a_3 + 2b_3) = (0, 4, 5) \] - Từ đây, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} a_1 + 2b_1 = 0 \\ a_2 + 2b_2 = 4 \\ a_3 + 2b_3 = 5 \end{cases} \] Phần d) $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ Phương pháp: - Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ dưới dạng $(a_1, a_2, a_3)$ và $(b_1, b_2, b_3)$. - Tính hiệu của $2\overrightarrow{a}$ và $3\overrightarrow{b}$. Giải chi tiết: - Giả sử $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)$ và $\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)$. - Ta có: \[ 2\overrightarrow{a} = (2a_1, 2a_2, 2a_3) \] \[ 3\overrightarrow{b} = (3b_1, 3b_2, 3b_3) \] - Tính hiệu: \[ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} = (2a_1 - 3b_1, 2a_2 - 3b_2, 2a_3 - 3b_3) \] Kết luận: - Phần b): $\overrightarrow{d} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$. - Phần c): Hệ phương trình: \[ \begin{cases} a_1 + 2b_1 = 0 \\ a_2 + 2b_2 = 4 \\ a_3 + 2b_3 = 5 \end{cases} \] - Phần d): $\overrightarrow{c} = (2a_1 - 3b_1, 2a_2 - 3b_2, 2a_3 - 3b_3)$. Câu 3. a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(x+1;-2;1).$ Theo bài ra ta có $(x+1;-2;1)=(4;-3;1).$ Suy ra $x+1=4$ hay $x=3.$ Vậy tọa độ của B là $(3;-1).$ b) Mặt phẳng $(O_2)$ có phương trình là $z=0.$ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $(O_2)$ là $d(A,(O_2))=|-2|=2.$ Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $(O_2)$ là 2. c) Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;-3;1).$ Gọi D có tọa độ là $(-1;y;z).$ Ta có $\overrightarrow{CD}=(2;y+2;z-2).$ Theo bài ra ta có $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}.$ Suy ra $(4;-3;1)=2(2;y+2;z-2).$ Từ đây ta tìm được $y=-\frac{7}{2};z=\frac{5}{2}.$ Vậy tọa độ của D là $(-1;-\frac{7}{2};\frac{5}{2}).$ d) Ta có $\overrightarrow{BC}=(2;-1;1).$ Phương trình tham số của đường thẳng BC là $\left\{\begin{matrix} x=3+2t\\ y=-1-t\\ z=t \end{matrix}\right..$ Mặt phẳng $(O_3)$ có phương trình là $y=0.$ Thay vào ta tìm được $t=-1.$ Từ đây suy ra tọa độ của I là $(1;0;-1).$ Ta có $\frac{IB}{IC}=\frac{|t|}{|t-1|}=\frac{1}{2}.$ Vậy $\frac{IB}{IC}=\frac{1}{2}.$ Câu 4. a) Tọa độ của điểm C là $(2;3;0)$ vì C là đỉnh chung của các đoạn thẳng AB, AD và CD. b) Diện tích của tam giác SCD: - Tính độ dài các cạnh của tam giác SCD: - SD = $\sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$ - CD = $\sqrt{(2-0)^2 + (3-3)^2 + (0-0)^2} = 2$ - SC = $\sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22}$ - Sử dụng công thức Heron để tính diện tích: - p = $\frac{SD + CD + SC}{2} = \frac{3\sqrt{2} + 2 + \sqrt{22}}{2}$ - Diện tích = $\sqrt{p(p - SD)(p - CD)(p - SC)}$ c) Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (SCD): - Phương trình mặt phẳng (SCD): - Vector pháp tuyến n = $\vec{SC} \times \vec{SD}$ - $\vec{SC} = (2, 3, -3)$ - $\vec{SD} = (0, 3, -3)$ - n = $(2, 3, -3) \times (0, 3, -3) = (0, 6, 6)$ - Phương trình mặt phẳng: $0(x - 0) + 6(y - 0) + 6(z - 0) = 0$ hay $y + z = 0$ - Đường thẳng qua A vuông góc với (SCD): - Phương trình tham số: $x = 0$, $y = t$, $z = -t$ - Giao điểm H của đường thẳng này với mặt phẳng (SCD): - Thay vào phương trình mặt phẳng: $t - t = 0$ nên t = 0 - H = $(0, 0, 0)$ d) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD): - Vector SC = $(2, 3, -3)$ - Mặt phẳng (SBD) có vector pháp tuyến n = $\vec{SB} \times \vec{SD}$ - $\vec{SB} = (2, 0, -3)$ - $\vec{SD} = (0, 3, -3)$ - n = $(2, 0, -3) \times (0, 3, -3) = (9, 6, 6)$ - Góc giữa SC và n: - $\cos(\theta) = \frac{\vec{SC} \cdot n}{|\vec{SC}| |n|} = \frac{(2, 3, -3) \cdot (9, 6, 6)}{\sqrt{22} \sqrt{153}} = \frac{18 + 18 - 18}{\sqrt{22} \sqrt{153}} = \frac{18}{\sqrt{22} \sqrt{153}}$ - $\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} > \frac{1}{3}$ Đáp án: d) Gọi a là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD), ta có $\sin\alpha > \frac{1}{3}$. Câu 1. Để tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}(2;3;6)$ trong không gian Oxyz, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định công thức tính độ dài của vectơ trong không gian Oxyz. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}(x;y;z)$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Bước 2: Thay tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}(2;3;6)$ vào công thức trên. \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} \] Bước 3: Tính bình phương của từng thành phần tọa độ. \[ 2^2 = 4 \] \[ 3^2 = 9 \] \[ 6^2 = 36 \] Bước 4: Cộng các bình phương lại với nhau. \[ 4 + 9 + 36 = 49 \] Bước 5: Tính căn bậc hai của tổng vừa tìm được. \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{49} = 7 \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}(2;3;6)$ là 7. Đáp số: 7 Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm góc giữa hai vectơ vận tốc: - Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\): \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] - Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 90 \times 60 + (-80) \times (-50) + (-120) \times (-60) = 5400 + 4000 + 7200 = 16600 \] - Tính độ dài của \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\): \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{90^2 + (-80)^2 + (-120)^2} = \sqrt{8100 + 6400 + 14400} = \sqrt{28900} = 170 \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{60^2 + (-50)^2 + (-60)^2} = \sqrt{3600 + 2500 + 3600} = \sqrt{9700} = 10\sqrt{97} \] - Thay vào công thức: \[ \cos \theta = \frac{16600}{170 \times 10\sqrt{97}} = \frac{16600}{1700\sqrt{97}} = \frac{166}{17\sqrt{97}} \] 2. Tính góc \(\theta\): - Sử dụng máy tính để tìm giá trị của \(\theta\): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{166}{17\sqrt{97}}\right) \] 3. Kết luận: - Góc giữa hai vectơ vận tốc là \(\theta\). Vậy, góc giữa hai vectơ vận tốc của hai máy bay là \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{166}{17\sqrt{97}}\right)\).