giúp mình bài này với ĐỀ SỐ 2,PHẦN I . Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu ho,,thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 1. $Tìm~\int(2\sin x+\cos x)dx.$,$A.~2\cos x+\sin x+C.$ $B.~2\cos x-\sin x+C.$,$C.~-2\cos x+\sin x+C.$ $D.~-2\cos x-\sin x+C.$,Câu 2. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x^2}$ và thỏa $F(1)=0.$,$A.~\frac1x+\ln x.$ $B.~\frac1x+\ln|x|.$ $C.~\frac1x+\ln|x|+1.$ $D.~\frac1x+\ln|x|-1.$,Câu 3. Tính $I=\int^3_0e^xdx=e^a+b.$ Tinh $S=a+b.$,A. 1. B. 2. C. 3. D. 3.,Câu 4. Biết $\int^2_1[3f(x)-g(x)]dx=10$ và $\int^2_1f(x)dx=4$ Tính $\int^2_1g(x)dx.$,A. -4. B. 1. C. 2. D. -1.,Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b].$ Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:,$A.~\int^b_af(x)dx=-\int^a_bf(x)dx.$ $B.~\int^b_akdx=k(b-a),\forall k\in\mathbb R.$,$C.~\int^b_af(x)dx=\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx$ với $c\in[a;b].$ $D.~\int^b_af(x)dx=\int^a_bf(x)dx.$,Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $[-1;2].$ Biết $f(-1)=1,f(2)=10,$ tính tích,phân $\int^2_{-1}[2x+f^\prime(x)]dx.$,A. 13. B. 12. C. 11. D. -2.,Câu 7. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm $A(0;1;0),~B(0;0;2),~C(3;0;0)$ có phương,trình là,$A.~\frac x1+\frac y2+\frac z3=0.$ $B.~\frac x1+\frac y2+\frac z3=1.$ $C.~\frac x3+\frac y1+\frac z2=0.$ $ extcircled{D.}~\frac x3+\frac y1+\frac z2=1.$,Câu 8. Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm $M(1;2;-2)$ đến mặt phẳng,$(P):~x+2y-2z-3=0.$ $\frac{1.1+2.2+(-2)}{\sqrt{1^2+2^2+C.1.2}}(-2)+(-3)$,A. 2. B. 6. D. 3.,Câu 9. Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua $A(2;-1;3)$ và vuông góc với mặt,phẳng $(P):~-4x+y+5z+1=0.$,$A.~\frac{x+4}2=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-5}3.$ $B.~\frac{x-4}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+5}3.$,$ extcircled{C.}~\frac{x-2}{-4}=\frac{y+1}1=\frac{z-3}5.$ $D.~\frac{x+2}{-4}=\frac{y-1}1=\frac{z+3}5.$

Question

giúp mình bài này với ĐỀ SỐ 2,PHẦN I . Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu ho,,thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 1. $Tìm~\int(2\sin x+\cos x)dx.$,$A.~2\cos x+\sin x+C.$ $B.~2\cos x-\sin x+C.$,$C.~-2\cos x+\sin x+C.$ $D.~-2\cos x-\sin x+C.$,Câu 2. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x^2}$ và thỏa $F(1)=0.$,$A.~\frac1x+\ln x.$ $B.~\frac1x+\ln|x|.$ $C.~\frac1x+\ln|x|+1.$ $D.~\frac1x+\ln|x|-1.$,Câu 3. Tính $I=\int^3_0e^xdx=e^a+b.$ Tinh $S=a+b.$,A. 1. B. 2. C. 3. D. 3.,Câu 4. Biết $\int^2_1[3f(x)-g(x)]dx=10$ và $\int^2_1f(x)dx=4$ Tính $\int^2_1g(x)dx.$,A. -4. B. 1. C. 2. D. -1.,Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b].$ Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:,$A.~\int^b_af(x)dx=-\int^a_bf(x)dx.$ $B.~\int^b_akdx=k(b-a),\forall k\in\mathbb R.$,$C.~\int^b_af(x)dx=\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx$ với $c\in[a;b].$ $D.~\int^b_af(x)dx=\int^a_bf(x)dx.$,Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $[-1;2].$ Biết $f(-1)=1,f(2)=10,$ tính tích,phân $\int^2_{-1}[2x+f^\prime(x)]dx.$,A. 13. B. 12. C. 11. D. -2.,Câu 7. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm $A(0;1;0),~B(0;0;2),~C(3;0;0)$ có phương,trình là,$A.~\frac x1+\frac y2+\frac z3=0.$ $B.~\frac x1+\frac y2+\frac z3=1.$ $C.~\frac x3+\frac y1+\frac z2=0.$ $	extcircled{D.}~\frac x3+\frac y1+\frac z2=1.$,Câu 8. Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm $M(1;2;-2)$ đến mặt phẳng,$(P):~x+2y-2z-3=0.$ $\frac{1.1+2.2+(-2)}{\sqrt{1^2+2^2+C.1.2}}(-2)+(-3)$,A. 2. B. 6. D. 3.,Câu 9. Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua $A(2;-1;3)$ và vuông góc với mặt,phẳng $(P):~-4x+y+5z+1=0.$,$A.~\frac{x+4}2=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-5}3.$ $B.~\frac{x-4}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+5}3.$,$	extcircled{C.}~\frac{x-2}{-4}=\frac{y+1}1=\frac{z-3}5.$ $D.~\frac{x+2}{-4}=\frac{y-1}1=\frac{z+3}5.$

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính $\int(2\sin x + \cos x)dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ rồi cộng lại.

1. Tính $\int 2\sin x dx$:
$$
\int 2\sin x dx = 2 \int \sin x dx = -2\cos x + C_1
$$

2. Tính $\int \cos x dx$:
$$
\int \cos x dx = \sin x + C_2
$$

3. Cộng hai kết quả trên lại:
$$
\int(2\sin x + \cos x)dx = -2\cos x + \sin x + C
$$
Trong đó, $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân.

Vậy đáp án đúng là:
$$
C. -2\cos x + \sin x + C
$$

Câu 2.
Để tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = \frac{x-1}{x^2} $ và thỏa mãn $ F(1) = 0 $, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của $ f(x) $:
   Ta có:
   $$
   f(x) = \frac{x-1}{x^2} = \frac{x}{x^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}
   $$
   Do đó, nguyên hàm của $ f(x) $ là:
   $$
   F(x) = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x^2} dx
   $$

2. Tính từng nguyên hàm riêng lẻ:
   $$
   \int \frac{1}{x} dx = \ln |x|
   $$
   $$
   \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x}
   $$

3. Ghép lại để tìm nguyên hàm tổng:
   $$
   F(x) = \ln |x| + \frac{1}{x} + C
   $$
   Trong đó, $ C $ là hằng số nguyên hàm.

4. Áp dụng điều kiện $ F(1) = 0 $:
   Thay $ x = 1 $ vào $ F(x) $:
   $$
   F(1) = \ln |1| + \frac{1}{1} + C = 0 + 1 + C = 0
   $$
   Từ đây, ta có:
   $$
   1 + C = 0 \implies C = -1
   $$

5. Viết kết quả cuối cùng:
   $$
   F(x) = \ln |x| + \frac{1}{x} - 1
   $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ D.~\frac{1}{x} + \ln |x| - 1 $$

Câu 3.
Để tính tích phân $ I = \int_{0}^{3} e^x \, dx $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ e^x $:
$$ \int e^x \, dx = e^x + C $$

Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân trên đoạn:
$$ I = \left[ e^x \right]_{0}^{3} = e^3 - e^0 $$

Bước 3: Tính giá trị cụ thể:
$$ I = e^3 - 1 $$

So sánh với dạng $ e^a + b $, ta nhận thấy:
$$ e^3 - 1 = e^3 + (-1) $$
Do đó, $ a = 3 $ và $ b = -1 $.

Bước 4: Tính $ S = a + b $:
$$ S = 3 + (-1) = 2 $$

Vậy đáp án đúng là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 3.

Đáp án: B. 2.

Câu 4.
Để tính $\int^2_1 g(x) dx$, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và áp dụng các tính chất của tích phân.

Bước 1: Ta biết rằng:
$$
\int^2_1 [3f(x) - g(x)] dx = 10
$$
và
$$
\int^2_1 f(x) dx = 4
$$

Bước 2: Ta sẽ tách tích phân $\int^2_1 [3f(x) - g(x)] dx$ thành hai phần:
$$
\int^2_1 [3f(x) - g(x)] dx = \int^2_1 3f(x) dx - \int^2_1 g(x) dx
$$

Bước 3: Ta biết rằng $\int^2_1 3f(x) dx = 3 \int^2_1 f(x) dx$. Thay giá trị của $\int^2_1 f(x) dx$ vào:
$$
\int^2_1 3f(x) dx = 3 \times 4 = 12
$$

Bước 4: Thay các giá trị vào phương trình ban đầu:
$$
12 - \int^2_1 g(x) dx = 10
$$

Bước 5: Giải phương trình để tìm $\int^2_1 g(x) dx$:
$$
12 - \int^2_1 g(x) dx = 10 \
\int^2_1 g(x) dx = 12 - 10 \
\int^2_1 g(x) dx = 2
$$

Vậy đáp án đúng là:
C. 2

Đáp số: $\int^2_1 g(x) dx = 2$

Câu 5.
Để chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề về tính chất của tích phân, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một.

A. $\int^b_a f(x) dx = -\int^a_b f(x) dx$

Theo tính chất của tích phân, nếu đổi cận trên và cận dưới thì tích phân sẽ thay đổi dấu:
$$ \int^b_a f(x) dx = -\int^a_b f(x) dx $$
Mệnh đề này đúng.

B. $\int^b_a k dx = k(b - a)$ với mọi $k \in \mathbb{R}$

Tích phân của một hằng số $k$ từ $a$ đến $b$ là:
$$ \int^b_a k dx = k \int^b_a dx = k [x]_a^b = k(b - a) $$
Mệnh đề này đúng.

C. $\int^b_a f(x) dx = \int^c_a f(x) dx + \int^b_c f(x) dx$ với $c \in [a; b]$

Theo tính chất của tích phân, nếu chia đoạn tích phân thành hai đoạn con thì tổng của hai tích phân trên hai đoạn con sẽ bằng tích phân trên toàn bộ đoạn ban đầu:
$$ \int^b_a f(x) dx = \int^c_a f(x) dx + \int^b_c f(x) dx $$
Mệnh đề này đúng.

D. $\int^b_a f(x) dx = \int^a_b f(x) dx$

Theo tính chất của tích phân, nếu đổi cận trên và cận dưới thì tích phân sẽ thay đổi dấu:
$$ \int^b_a f(x) dx = -\int^a_b f(x) dx $$
Do đó, mệnh đề này sai vì nó không có dấu trừ.

Vậy mệnh đề sai là:
$$ D. \int^b_a f(x) dx = \int^a_b f(x) dx $$

Đáp án: D.

Câu 6.
Để tính tích phân $\int^2_{-1}[2x+f^\prime(x)]dx$, ta sẽ áp dụng các công thức và tính chất của tích phân.

Bước 1: Tách tích phân thành hai phần:
$$
\int^2_{-1}[2x + f'(x)] \, dx = \int^2_{-1} 2x \, dx + \int^2_{-1} f'(x) \, dx
$$

Bước 2: Tính từng phần riêng lẻ.

Phần thứ nhất:
$$
\int^2_{-1} 2x \, dx
$$
Áp dụng công thức tích phân cơ bản:
$$
\int 2x \, dx = x^2 + C
$$
Do đó:
$$
\int^2_{-1} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]^2_{-1} = 2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3
$$

Phần thứ hai:
$$
\int^2_{-1} f'(x) \, dx
$$
Theo định lý Newton-Leibniz, tích phân của đạo hàm của một hàm số từ a đến b là:
$$
\int^b_a f'(x) \, dx = f(b) - f(a)
$$
Áp dụng vào bài toán:
$$
\int^2_{-1} f'(x) \, dx = f(2) - f(-1) = 10 - 1 = 9
$$

Bước 3: Cộng hai kết quả lại:
$$
\int^2_{-1}[2x + f'(x)] \, dx = 3 + 9 = 12
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{12}
$$

Câu 7.
Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $ A(0;1;0) $, $ B(0;0;2) $, và $ C(3;0;0) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng:
   - Vectơ $ \overrightarrow{AB} $ từ điểm $ A $ đến điểm $ B $:
     $$
     \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 0, 0 - 1, 2 - 0) = (0, -1, 2)
     $$
   - Vectơ $ \overrightarrow{AC} $ từ điểm $ A $ đến điểm $ C $:
     $$
     \overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 0, 0 - 1, 0 - 0) = (3, -1, 0)
     $$

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
   - Vectơ pháp tuyến $ \vec{n} $ là tích vector của $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC} $:
     $$
     \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}
     $$
     Ta tính tích vector:
     $$
     \vec{n} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     0 & -1 & 2 \
     3 & -1 & 0
     \end{vmatrix}
     = \mathbf{i}((-1)(0) - (2)(-1)) - \mathbf{j}((0)(0) - (2)(3)) + \mathbf{k}((0)(-1) - (-1)(3))
     = \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(-6) + \mathbf{k}(3)
     = 2\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
     $$
     Vậy, vectơ pháp tuyến $ \vec{n} = (2, 6, 3) $.

3. Viết phương trình mặt phẳng:
   - Phương trình mặt phẳng có dạng $ ax + by + cz = d $, trong đó $ (a, b, c) $ là vectơ pháp tuyến và $ d $ là hằng số.
   - Thay tọa độ của điểm $ A(0;1;0) $ vào phương trình để tìm $ d $:
     $$
     2(0) + 6(1) + 3(0) = d \implies d = 6
     $$
   - Vậy phương trình mặt phẳng là:
     $$
     2x + 6y + 3z = 6
     $$

4. Chuyển đổi phương trình về dạng chuẩn:
   - Chia cả hai vế cho 6:
     $$
     \frac{2x}{6} + \frac{6y}{6} + \frac{3z}{6} = \frac{6}{6}
     $$
     $$
     \frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1
     $$

Do đó, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $ A(0;1;0) $, $ B(0;0;2) $, và $ C(3;0;0) $ là:
$$
\boxed{\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1}
$$

Đáp án đúng là: D. $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1$.

Câu 8.
Để tính khoảng cách từ điểm $ M(1;2;-2) $ đến mặt phẳng $ (P): x + 2y - 2z - 3 = 0 $, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Công thức khoảng cách từ điểm $ M(x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ ax + by + cz + d = 0 $ là:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Trong đó:
- $ a = 1 $
- $ b = 2 $
- $ c = -2 $
- $ d = -3 $
- $ x_0 = 1 $
- $ y_0 = 2 $
- $ z_0 = -2 $

Thay các giá trị này vào công thức:
$$ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-2) \cdot (-2) - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} $$

Tính toán từng phần:
$$ 1 \cdot 1 = 1 $$
$$ 2 \cdot 2 = 4 $$
$$ (-2) \cdot (-2) = 4 $$
$$ 1 + 4 + 4 - 3 = 6 $$

Vậy:
$$ d = \frac{|6|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2 $$

Do đó, khoảng cách từ điểm $ M(1;2;-2) $ đến mặt phẳng $ (P): x + 2y - 2z - 3 = 0 $ là 2.

Đáp án: A. 2.

Câu 9.
Để viết phương trình đường thẳng qua điểm $ A(2; -1; 3) $ và vuông góc với mặt phẳng $ (P): -4x + y + 5z + 1 = 0 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (P) $:
   Mặt phẳng $ (P) $ có phương trình $ -4x + y + 5z + 1 = 0 $. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $ \vec{n} = (-4, 1, 5) $.

2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng:
   Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $ (P) $ sẽ có vectơ chỉ phương trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là $ \vec{d} = (-4, 1, 5) $.

3. Viết phương trình đường thẳng:
   Đường thẳng đi qua điểm $ A(2, -1, 3) $ và có vectơ chỉ phương $ \vec{d} = (-4, 1, 5) $ có phương trình tham số là:
   $$
   \begin{cases}
   x = 2 - 4t \
   y = -1 + t \
   z = 3 + 5t
   \end{cases}
   $$
   hoặc dưới dạng phương trình đoạn thẳng:
   $$
   \frac{x - 2}{-4} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{5}
   $$

Do đó, phương án đúng là:
$$ \boxed{\textcircled{C.}~\frac{x-2}{-4}=\frac{y+1}1=\frac{z-3}5.} $$