giúp mình câu này với sai.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\cos^3x+\sin^3x-\frac94\cos x.\sin x$,$a)~f(\frac\pi2)=1$,b) Đặt $t=\sin x+\cos x$ với $t\in[-\sqrt2;\sqrt2]$ thì phương trình trở thành $h(t)=\frac{-4t^3-9t^2+12t+9}8$,c) Phương trình $h^\prime(t)=0$ có hai nghiệm phân biệt trên đoạn $[-\sqrt2;\sqrt2]$,d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ là $\frac{49}{32}.$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu.

Bước 1: Tính giá trị của $ f\left( \frac{\pi}{2} \right) $

Ta có:
$$ f(x) = \cos^3 x + \sin^3 x - \frac{9}{4} \cos x \sin x $$

Thay $ x = \frac{\pi}{2} $:
$$ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos^3 \left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin^3 \left( \frac{\pi}{2} \right) - \frac{9}{4} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) $$
$$ = 0^3 + 1^3 - \frac{9}{4} \cdot 0 \cdot 1 $$
$$ = 0 + 1 - 0 $$
$$ = 1 $$

Vậy $ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 $.

Bước 2: Đặt $ t = \sin x + \cos x $ và biến đổi phương trình

Ta có:
$$ t = \sin x + \cos x $$

Sử dụng công thức:
$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$
$$ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x $$
$$ t^2 = 1 + 2 \sin x \cos x $$
$$ \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2} $$

Biến đổi $ f(x) $:
$$ f(x) = \cos^3 x + \sin^3 x - \frac{9}{4} \cos x \sin x $$
$$ = (\cos x + \sin x)(\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x) - \frac{9}{4} \cos x \sin x $$
$$ = t \left( 1 - \frac{t^2 - 1}{2} \right) - \frac{9}{4} \cdot \frac{t^2 - 1}{2} $$
$$ = t \left( \frac{2 - t^2 + 1}{2} \right) - \frac{9(t^2 - 1)}{8} $$
$$ = t \left( \frac{3 - t^2}{2} \right) - \frac{9(t^2 - 1)}{8} $$
$$ = \frac{t(3 - t^2)}{2} - \frac{9(t^2 - 1)}{8} $$
$$ = \frac{4t(3 - t^2) - 9(t^2 - 1)}{8} $$
$$ = \frac{12t - 4t^3 - 9t^2 + 9}{8} $$
$$ = \frac{-4t^3 - 9t^2 + 12t + 9}{8} $$

Vậy phương trình trở thành:
$$ h(t) = \frac{-4t^3 - 9t^2 + 12t + 9}{8} $$

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình $ h'(t) = 0 $

Tính đạo hàm của $ h(t) $:
$$ h(t) = \frac{-4t^3 - 9t^2 + 12t + 9}{8} $$
$$ h'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{-4t^3 - 9t^2 + 12t + 9}{8} \right) $$
$$ = \frac{1}{8} \left( -12t^2 - 18t + 12 \right) $$
$$ = \frac{-12t^2 - 18t + 12}{8} $$
$$ = \frac{-3t^2 - \frac{9}{2}t + 3}{2} $$

Phương trình $ h'(t) = 0 $:
$$ \frac{-3t^2 - \frac{9}{2}t + 3}{2} = 0 $$
$$ -3t^2 - \frac{9}{2}t + 3 = 0 $$
$$ -6t^2 - 9t + 6 = 0 $$
$$ 2t^2 + 3t - 2 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} $$
$$ t = \frac{-3 \pm 5}{4} $$
$$ t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
$$ t_2 = \frac{-8}{4} = -2 $$

Vì $ t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $, ta loại $ t = -2 $. Vậy phương trình $ h'(t) = 0 $ có hai nghiệm phân biệt trên đoạn $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $.

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = f(x) $

Đánh giá $ h(t) $ tại các điểm $ t = -\sqrt{2} $, $ t = \frac{1}{2} $, và $ t = \sqrt{2} $:

$$ h(-\sqrt{2}) = \frac{-4(-\sqrt{2})^3 - 9(-\sqrt{2})^2 + 12(-\sqrt{2}) + 9}{8} $$
$$ = \frac{8\sqrt{2} - 18 - 12\sqrt{2} + 9}{8} $$
$$ = \frac{-4\sqrt{2} - 9}{8} $$

$$ h\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{-4\left( \frac{1}{2} \right)^3 - 9\left( \frac{1}{2} \right)^2 + 12\left( \frac{1}{2} \right) + 9}{8} $$
$$ = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{9}{4} + 6 + 9}{8} $$
$$ = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{9}{4} + 15}{8} $$
$$ = \frac{-2 - 9 + 60}{32} $$
$$ = \frac{49}{32} $$

$$ h(\sqrt{2}) = \frac{-4(\sqrt{2})^3 - 9(\sqrt{2})^2 + 12(\sqrt{2}) + 9}{8} $$
$$ = \frac{-8\sqrt{2} - 18 + 12\sqrt{2} + 9}{8} $$
$$ = \frac{4\sqrt{2} - 9}{8} $$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $ y = f(x) $ là $ \frac{49}{32} $, đạt được khi $ t = \frac{1}{2} $.

Kết luận:
a) $ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 $
b) Phương trình trở thành $ h(t) = \frac{-4t^3 - 9t^2 + 12t + 9}{8} $
c) Phương trình $ h'(t) = 0 $ có hai nghiệm phân biệt trên đoạn $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $
d) Giá trị lớn nhất của hàm số $ y = f(x) $ là $ \frac{49}{32} $.