giúp mình với ạ PHẦN IV. Câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày vào giấy từ câu 1 đến câu 3.,Câu 1. Cho $P(A)=\frac25;P(B)=\frac23;P(A\cup B)=\frac12.$ Tính $P(A|B).$,Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0),$ mỗi,đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn,hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688,-185,8).$ chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ,phương là $\overrightarrow u=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).,,Tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu.,Câu 3. Có 1 kho bia kém chất lượng chứa các thùng giống nhau (24 lon/thùng) gồm 3 loại: loại I để lẫn,mỗi thùng 3 lon quá hạn sử dụng, loại II để lẫn mỗi thùng 4 lon quá hạn và loại III để lẫn mỗi thùng có 2,Ion quá hạn. Biết số lượng thùng loại 1 gấp 2 lần số lượng thùng loại II và số thùng loại II gấp 3 lần thùng,loại III. Chọn ngẫu nhiên 1 thùng từ trong kho, từ đó chọn ngẫu nhiên 10 lon. Tính xác suất để lấy được 2,Ion quá hạn sử dụng.,-----HẾT-----

Question

giúp mình với ạ PHẦN IV. Câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày vào giấy từ câu 1 đến câu 3.,Câu 1. Cho $P(A)=\frac25;P(B)=\frac23;P(A\cup B)=\frac12.$ Tính $P(A|B).$,Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0),$ mỗi,đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn,hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688,-185,8).$ chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ,phương là $\overrightarrow u=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình 44).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/a299f1b24c21460ea6691df596a9bd71.jpg />,Tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu.,Câu 3. Có 1 kho bia kém chất lượng chứa các thùng giống nhau (24 lon/thùng) gồm 3 loại: loại I để lẫn,mỗi thùng 3 lon quá hạn sử dụng, loại II để lẫn mỗi thùng 4 lon quá hạn và loại III để lẫn mỗi thùng có 2,Ion quá hạn. Biết số lượng thùng loại 1 gấp 2 lần số lượng thùng loại II và số thùng loại II gấp 3 lần thùng,loại III. Chọn ngẫu nhiên 1 thùng từ trong kho, từ đó chọn ngẫu nhiên 10 lon. Tính xác suất để lấy được 2,Ion quá hạn sử dụng.,-----HẾT-----

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính $P(A|B)$, ta cần biết xác suất của sự kiện $A$ xảy ra khi biết rằng sự kiện $B$ đã xảy ra. Công thức để tính xác suất điều kiện là:
$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Trước tiên, ta cần tìm $P(A \cap B)$. Ta sử dụng công thức cộng xác suất cho hai sự kiện:
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Thay các giá trị đã cho vào công thức:
$$ \frac{1}{2} = \frac{2}{5} + \frac{2}{3} - P(A \cap B) $$

Quy đồng mẫu số để thực hiện phép tính:
$$ \frac{1}{2} = \frac{6}{15} + \frac{10}{15} - P(A \cap B) $$
$$ \frac{1}{2} = \frac{16}{15} - P(A \cap B) $$

Di chuyển $\frac{16}{15}$ sang vế trái:
$$ P(A \cap B) = \frac{16}{15} - \frac{1}{2} $$

Quy đồng mẫu số:
$$ P(A \cap B) = \frac{16}{15} - \frac{15}{30} $$
$$ P(A \cap B) = \frac{32}{30} - \frac{15}{30} $$
$$ P(A \cap B) = \frac{17}{30} $$

Bây giờ, ta có thể tính $P(A|B)$:
$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
$$ P(A|B) = \frac{\frac{17}{30}}{\frac{2}{3}} $$
$$ P(A|B) = \frac{17}{30} \times \frac{3}{2} $$
$$ P(A|B) = \frac{17 \times 3}{30 \times 2} $$
$$ P(A|B) = \frac{51}{60} $$
$$ P(A|B) = \frac{17}{20} $$

Vậy, xác suất của sự kiện $A$ xảy ra khi biết rằng sự kiện $B$ đã xảy ra là:
$$ P(A|B) = \frac{17}{20} $$

Câu 2.
Để tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình đường thẳng d:
   - Đường thẳng d đi qua điểm A(-688, -185, 8) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91, 75, 0)$.
   - Phương trình tham số của đường thẳng d:
     $$
     \begin{cases}
     x = -688 + 91t \
     y = -185 + 75t \
     z = 8
     \end{cases}
     $$

2. Tìm khoảng cách từ điểm O(0, 0, 0) đến đường thẳng d:
   - Vectơ OA = (-688, -185, 8).
   - Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u} = (91, 75, 0)$.
   - Tính vectơ OA x $\overrightarrow{u}$:
     $$
     \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u} = 
     \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     -688 & -185 & 8 \
     91 & 75 & 0
     \end{vmatrix}
     = \mathbf{i}((-185)(0) - (8)(75)) - \mathbf{j}((-688)(0) - (8)(91)) + \mathbf{k}((-688)(75) - (-185)(91))
     $$
     $$
     = \mathbf{i}(0 - 600) - \mathbf{j}(0 - 728) + \mathbf{k}(-51600 + 16835)
     $$
     $$
     = -600\mathbf{i} + 728\mathbf{j} - 34765\mathbf{k}
     $$
     $$
     = (-600, 728, -34765)
     $$

- Độ dài của vectơ OA x $\overrightarrow{u}$:
     $$
     |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}| = \sqrt{(-600)^2 + 728^2 + (-34765)^2}
     $$
     $$
     = \sqrt{360000 + 530304 + 1208605225}
     $$
     $$
     = \sqrt{1209495529}
     $$
     $$
     \approx 34777.7
     $$

- Độ dài của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$:
     $$
     |\overrightarrow{u}| = \sqrt{91^2 + 75^2 + 0^2}
     $$
     $$
     = \sqrt{8281 + 5625}
     $$
     $$
     = \sqrt{13906}
     $$
     $$
     \approx 117.9
     $$

- Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d:
     $$
     d(O, d) = \frac{|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{u}|}
     $$
     $$
     = \frac{34777.7}{117.9}
     $$
     $$
     \approx 294.6
     $$

3. Kiểm tra xem máy bay có nằm trong phạm vi hiển thị của ra đa hay không:
   - Khoảng cách từ điểm O đến máy bay ban đầu:
     $$
     d(O, A) = \sqrt{(-688)^2 + (-185)^2 + 8^2}
     $$
     $$
     = \sqrt{473344 + 34225 + 64}
     $$
     $$
     = \sqrt{507633}
     $$
     $$
     \approx 712.5
     $$

- Vì khoảng cách từ điểm O đến máy bay ban đầu là 712.5 km, lớn hơn 417 km, nên máy bay nằm ngoài phạm vi hiển thị của ra đa.

4. Kết luận:
   - Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d, tức là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là 294.6 km.

Đáp số: 294.6 km.

Câu 3.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định số lượng thùng của mỗi loại.
2. Tính tổng số thùng trong kho.
3. Xác định xác suất chọn được mỗi loại thùng.
4. Tính xác suất lấy được 2 lon quá hạn sử dụng từ mỗi loại thùng.
5. Kết hợp các xác suất trên để tìm xác suất tổng thể.

Bước 1: Xác định số lượng thùng của mỗi loại.
Gọi số lượng thùng loại III là $ x $. 
Số lượng thùng loại II là $ 3x $.
Số lượng thùng loại I là $ 2 \times 3x = 6x $.

Bước 2: Tính tổng số thùng trong kho.
Tổng số thùng trong kho là:
$$ x + 3x + 6x = 10x $$

Bước 3: Xác định xác suất chọn được mỗi loại thùng.
- Xác suất chọn được thùng loại III là:
$$ P(\text{III}) = \frac{x}{10x} = \frac{1}{10} $$
- Xác suất chọn được thùng loại II là:
$$ P(\text{II}) = \frac{3x}{10x} = \frac{3}{10} $$
- Xác suất chọn được thùng loại I là:
$$ P(\text{I}) = \frac{6x}{10x} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$

Bước 4: Tính xác suất lấy được 2 lon quá hạn sử dụng từ mỗi loại thùng.
- Thùng loại III có 2 lon quá hạn trong 24 lon. Số cách chọn 2 lon quá hạn trong 10 lon là:
$$ \binom{2}{2} \times \binom{22}{8} $$
Tổng số cách chọn 10 lon từ 24 lon là:
$$ \binom{24}{10} $$
Vậy xác suất lấy được 2 lon quá hạn từ thùng loại III là:
$$ P(\text{2 lon quá hạn | III}) = \frac{\binom{2}{2} \times \binom{22}{8}}{\binom{24}{10}} $$

- Thùng loại II có 4 lon quá hạn trong 24 lon. Số cách chọn 2 lon quá hạn trong 10 lon là:
$$ \binom{4}{2} \times \binom{20}{8} $$
Tổng số cách chọn 10 lon từ 24 lon là:
$$ \binom{24}{10} $$
Vậy xác suất lấy được 2 lon quá hạn từ thùng loại II là:
$$ P(\text{2 lon quá hạn | II}) = \frac{\binom{4}{2} \times \binom{20}{8}}{\binom{24}{10}} $$

- Thùng loại I có 3 lon quá hạn trong 24 lon. Số cách chọn 2 lon quá hạn trong 10 lon là:
$$ \binom{3}{2} \times \binom{21}{8} $$
Tổng số cách chọn 10 lon từ 24 lon là:
$$ \binom{24}{10} $$
Vậy xác suất lấy được 2 lon quá hạn từ thùng loại I là:
$$ P(\text{2 lon quá hạn | I}) = \frac{\binom{3}{2} \times \binom{21}{8}}{\binom{24}{10}} $$

Bước 5: Kết hợp các xác suất trên để tìm xác suất tổng thể.
Xác suất tổng thể lấy được 2 lon quá hạn sử dụng là:
$$ P(\text{2 lon quá hạn}) = P(\text{III}) \times P(\text{2 lon quá hạn | III}) + P(\text{II}) \times P(\text{2 lon quá hạn | II}) + P(\text{I}) \times P(\text{2 lon quá hạn | I}) $$

Thay các giá trị vào:
$$ P(\text{2 lon quá hạn}) = \frac{1}{10} \times \frac{\binom{2}{2} \times \binom{22}{8}}{\binom{24}{10}} + \frac{3}{10} \times \frac{\binom{4}{2} \times \binom{20}{8}}{\binom{24}{10}} + \frac{3}{5} \times \frac{\binom{3}{2} \times \binom{21}{8}}{\binom{24}{10}} $$

Đây là công thức cuối cùng để tính xác suất lấy được 2 lon quá hạn sử dụng từ kho bia.