Giúp mih với

Câu 20. Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $(a)$, ta cần xem xét phương trình tham số của đường thẳng này. Phương trình tham số của đường thẳng $(a)$ là: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-7}{1} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng đường thẳng $(a)$ có dạng: \[ x = 1 + 2t, \quad y = 3 - 4t, \quad z = 7 + t \] Trong đó, $t$ là tham số. Như vậy, vectơ chỉ phương của đường thẳng $(a)$ là $(2, -4, 1)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $(2, -4, 1)$. Câu 21. Để tìm một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) được cho bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 4 \\ z = 3 - 2t \end{array} \right. \] Chúng ta cần xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng này. Phương trình tham số của đường thẳng \( d \) có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{array} \right. \] Trong đó, \( (x_0, y_0, z_0) \) là tọa độ một điểm trên đường thẳng và \( (a, b, c) \) là các thành phần của véc tơ chỉ phương. So sánh phương trình đã cho với phương trình tổng quát, ta nhận thấy: - \( x = 1 + t \) suy ra \( a = 1 \) - \( y = 4 \) suy ra \( b = 0 \) (vì \( y \) không phụ thuộc vào \( t \)) - \( z = 3 - 2t \) suy ra \( c = -2 \) Do đó, véc tơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) là \( \overrightarrow{u} = (1, 0, -2) \). Vậy đáp án đúng là: C. \( \overrightarrow{u} = (1, 0, -2) \). Câu 22. Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm \( M(-2;1;3) \) và nhận vectơ \(\overrightarrow{u} = (1; -3; 5)\) làm vectơ chỉ phương, ta sử dụng công thức phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) và nhận vectơ \(\overrightarrow{u} = (a, b, c)\) làm vectơ chỉ phương là: \[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \] Trong đó, \( t \) là tham số. Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \begin{cases} x = -2 + 1t \\ y = 1 - 3t \\ z = 3 + 5t \end{cases} \] Từ đây, ta có thể viết phương trình đường thẳng dưới dạng tỉ lệ: \[ \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 3}{5} \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy phương án đúng là: D. \(\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 3}{5}\) Vậy đáp án đúng là D. Câu 23. Để xác định vec-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), ta cần dựa vào phương trình tham số của đường thẳng đó. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) được cho là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = -1 + 3t \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số này, ta thấy rằng mỗi thành phần của tọa độ điểm trên đường thẳng \(d\) phụ thuộc vào tham số \(t\) theo các hệ số tương ứng. Các hệ số này chính là các thành phần của vec-tơ chỉ phương của đường thẳng. Cụ thể: - Thành phần \(x\) phụ thuộc vào \(t\) với hệ số 1. - Thành phần \(y\) phụ thuộc vào \(t\) với hệ số -2. - Thành phần \(z\) phụ thuộc vào \(t\) với hệ số 3. Do đó, vec-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{u} = (1, -2, 3)\). Trong các lựa chọn đã cho: A. \(\overrightarrow{u_1} = (2, 1, -1)\) B. \(\overrightarrow{u_2} = (1, 2, 3)\) C. \(\overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3)\) D. \(\overrightarrow{u_4} = (2, 1, 1)\) Chúng ta thấy rằng vec-tơ chỉ phương đúng là \(\overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3)\). Vậy đáp án đúng là: C. \(\overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3)\). Câu 24. Để tìm phương trình đường thẳng MN trong không gian Oxyz, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng này. Vectơ chỉ phương của đường thẳng MN được xác định từ hai điểm M và N. Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ: \[ \overrightarrow{MN} = (3 - 1, 1 - 2, -2 - 1) = (2, -1, -3) \] Phương trình đường thẳng MN đi qua điểm M(1, 2, 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN} = (2, -1, -3)$ sẽ có dạng: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{-3} \] Do đó, phương trình đường thẳng MN là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{-3} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z + 1}{-3}$ Tuy nhiên, ta thấy rằng đáp án D không chính xác vì nó không đúng với tọa độ của điểm M và vectơ chỉ phương đã tính toán. Đáp án đúng phải là: B. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{-3}$ Đáp án: B. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{-3}$ Câu 25. Để tìm phương trình tham số của đường thẳng MN, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng này. Vectơ chỉ phương của đường thẳng MN là $\overrightarrow{MN}$. Tính $\overrightarrow{MN}$: \[ \overrightarrow{MN} = N - M = (3-1, 2-0, -1-1) = (2, 2, -2) \] Bây giờ, ta viết phương trình tham số của đường thẳng MN với điểm M(1, 0, 1) và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN} = (2, 2, -2)$. Phương trình tham số của đường thẳng MN là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 0 + 2t \\ z = 1 - 2t \end{array} \right. \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy phương án đúng là: D. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{array} \right.$ Đáp án: D. Câu 26. Để tìm phương trình chính tắc của đường thẳng \( d \) được cho bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -2 + t \end{array} \right. \] Chúng ta cần xác định điểm đi qua và vector chỉ phương của đường thẳng. 1. Xác định điểm đi qua: - Khi \( t = 0 \): \[ x = 1 + 2 \cdot 0 = 1 \] \[ y = 3 \cdot 0 = 0 \] \[ z = -2 + 0 = -2 \] Vậy điểm đi qua là \( M_0(1, 0, -2) \). 2. Xác định vector chỉ phương: - Vector chỉ phương của đường thẳng \( d \) là \( \vec{u} = (2, 3, 1) \). 3. Viết phương trình chính tắc: Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \( M_0(x_0, y_0, z_0) \) và có vector chỉ phương \( \vec{u} = (a, b, c) \) là: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] Áp dụng vào bài toán: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z + 2}{1} \] Do đó, phương trình chính tắc của đường thẳng \( d \) là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{1} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{1} \) Câu 27. Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( M(1; -2; 1) \) và \( N(0; 1; 3) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng: Vector chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( M \) và \( N \) là: \[ \overrightarrow{MN} = (0 - 1, 1 + 2, 3 - 1) = (-1, 3, 2) \] 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng đi qua điểm \( M(1; -2; 1) \) và có vector chỉ phương \(\overrightarrow{MN} = (-1, 3, 2)\) có phương trình tham số là: \[ \begin{cases} x = 1 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \] trong đó \( t \) là tham số. 3. Viết phương trình đại lượng của đường thẳng: Từ phương trình tham số, ta có thể viết phương trình đại lượng của đường thẳng: \[ \frac{x - 1}{-1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 1}{2} \] Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( M(1; -2; 1) \) và \( N(0; 1; 3) \) là: \[ \boxed{\frac{x - 1}{-1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 1}{2}} \]