nSskdnnskssjsbssj

Câu 11. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(\sin \alpha\) từ \(\cos \alpha = \frac{-2}{3}\): - Ta biết rằng \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). - Thay \(\cos \alpha = \frac{-2}{3}\) vào công thức trên: \[ \sin^2 \alpha + \left( \frac{-2}{3} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{5}{9} \] \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \] 2. Xác định dấu của \(\sin \alpha\): - Vì \(\cos \alpha = \frac{-2}{3}\) là âm, \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ hai hoặc thứ ba. - Trong góc phần tư thứ hai, \(\sin \alpha\) là dương, còn trong góc phần tư thứ ba, \(\sin \alpha\) là âm. - Do đó, ta chọn \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}\). 3. Tính giá trị của \(\cot \alpha\) và \(\tan \alpha\): - \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{-2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{-2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\) - \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{-2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{-2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}\) 4. Thay giá trị của \(\cot \alpha\) và \(\tan \alpha\) vào biểu thức \(P\): - \(P = \frac{\cot \alpha + 3 \tan \alpha}{\tan \alpha + \tan \alpha}\) - Thay \(\cot \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\) và \(\tan \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}\): \[ P = \frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5} + 3 \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}{-\frac{\sqrt{5}}{2} + -\frac{\sqrt{5}}{2}} \] \[ P = \frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{3\sqrt{5}}{2}}{-\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}} \] \[ P = \frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{3\sqrt{5}}{2}}{-\sqrt{5}} \] \[ P = \frac{-\frac{4\sqrt{5}}{10} - \frac{15\sqrt{5}}{10}}{-\sqrt{5}} \] \[ P = \frac{-\frac{19\sqrt{5}}{10}}{-\sqrt{5}} \] \[ P = \frac{19}{10} \] Do đó, giá trị của \(P\) là \(\boxed{\frac{19}{10}}\). Câu 12. Để kiểm tra xem các điểm M, P, N, Q có thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho hay không, ta lần lượt thay tọa độ của các điểm vào hệ bất phương trình và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn cả hai bất phương trình hay không. A. Điểm $M(0;1)$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $0 + 3 \times 1 - 2 = 1 \geq 0$ (thỏa mãn) - Thay vào bất phương trình thứ hai: $2 \times 0 + 1 + 1 = 2 \leq 0$ (không thỏa mãn) B. Điểm $P(1;3)$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $1 + 3 \times 3 - 2 = 8 \geq 0$ (thỏa mãn) - Thay vào bất phương trình thứ hai: $2 \times 1 + 3 + 1 = 6 \leq 0$ (không thỏa mãn) C. Điểm $N(-2;1)$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $-2 + 3 \times 1 - 2 = -1 \geq 0$ (không thỏa mãn) - Thay vào bất phương trình thứ hai: $2 \times (-2) + 1 + 1 = -2 \leq 0$ (thỏa mãn) D. Điểm $Q(-1;0)$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $-1 + 3 \times 0 - 2 = -3 \geq 0$ (không thỏa mãn) - Thay vào bất phương trình thứ hai: $2 \times (-1) + 0 + 1 = -1 \leq 0$ (thỏa mãn) Như vậy, trong các điểm M, P, N, Q, chỉ có điểm N(-2;1) thỏa mãn bất phương trình thứ hai nhưng không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất. Do đó, không có điểm nào trong các điểm M, P, N, Q thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Đáp án: Không có điểm nào trong các điểm M, P, N, Q thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Câu 1. Để kiểm tra từng điểm có phải là nghiệm của hệ bất phương trình hay không, ta lần lượt thay các giá trị vào hệ bất phương trình đã cho và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ hay không. a) Kiểm tra điểm (-2; -1): - Thay vào \(x + 2y \leq 30\): \((-2) + 2(-1) = -2 - 2 = -4 \leq 30\) (thỏa mãn) - Thay vào \(y > 5\): \(-1 > 5\) (không thỏa mãn) Vậy điểm (-2; -1) không là nghiệm của hệ bất phương trình. b) Kiểm tra điểm (3; 1): - Thay vào \(x + 2y \leq 30\): \(3 + 2(1) = 3 + 2 = 5 \leq 30\) (thỏa mãn) - Thay vào \(y > 5\): \(1 > 5\) (không thỏa mãn) Vậy điểm (3; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình. c) Hệ trên là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: - Đây là nhận xét về bản chất của hệ bất phương trình, không liên quan đến việc kiểm tra các điểm cụ thể. Hệ bất phương trình đã cho đúng là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. d) Kiểm tra điểm (-2; 8): - Thay vào \(x + 2y \leq 30\): \((-2) + 2(8) = -2 + 16 = 14 \leq 30\) (thỏa mãn) - Thay vào \(y > 5\): \(8 > 5\) (thỏa mãn) - Thay vào \(-2x + 6y > 40\): \(-2(-2) + 6(8) = 4 + 48 = 52 > 40\) (thỏa mãn) Vậy điểm (-2; 8) là nghiệm của hệ bất phương trình. Kết luận: Đáp án đúng là d) (-2; 8) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên. Câu 2. Trước tiên, ta biết rằng \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Điều này có nghĩa là \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ hai, nơi mà \(\sin \alpha > 0\) và \(\cos \alpha < 0\). a) Tính \(\cos^2 \alpha\) Ta sử dụng công thức Pythagoras: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\): \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \] b) Xác định dấu của \(\cos \alpha\) Vì \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ hai, \(\cos \alpha < 0\). Do đó: \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \] c) Tính \(\tan(180^\circ - \alpha)\) Ta biết rằng: \[ \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha \] Mà: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \] Do đó: \[ \tan(180^\circ - \alpha) = -(-\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \] d) Tính \(A = \frac{\tan \alpha - \cos(180^\circ - \alpha)}{\sin(90^\circ - \alpha)}\) Ta biết rằng: \[ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha = -(-\frac{4}{5}) = \frac{4}{5} \] \[ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha = -\frac{4}{5} \] Do đó: \[ A = \frac{\tan \alpha - \cos(180^\circ - \alpha)}{\sin(90^\circ - \alpha)} = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{4}{5}}{-\frac{4}{5}} \] Tính chung mẫu số: \[ -\frac{3}{4} = -\frac{15}{20}, \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20} \] \[ A = \frac{-\frac{15}{20} - \frac{16}{20}}{-\frac{4}{5}} = \frac{-\frac{31}{20}}{-\frac{4}{5}} = \frac{-\frac{31}{20}}{-\frac{16}{20}} = \frac{31}{16} = \frac{125}{48} \] Kết luận a) \(\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}\) b) \(\cos \alpha < 0\) c) \(\tan(180^\circ - \alpha) = \frac{3}{4}\) d) \(A = \frac{125}{48}\) Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosin và kiểm tra từng phương án một. Bước 1: Kiểm tra phương án d) Phương án d) đưa ra công thức \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\). Đây là Định lý Cosin, do đó phương án này đúng. Bước 2: Tính \(c\) theo Định lý Cosin Áp dụng Định lý Cosin: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \] \[ c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ \] \[ c^2 = 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ c^2 = 25 - 12 \sqrt{3} \] \[ c^2 \approx 25 - 12 \cdot 1,732 \] \[ c^2 \approx 25 - 20,784 \] \[ c^2 \approx 4,216 \] \[ c \approx \sqrt{4,216} \] \[ c \approx 2,05 \text{ cm} \] Do đó, phương án c) \(c = 3,05 \text{ cm}\) là sai. Bước 3: Tính \(\cos A\) theo Định lý Cosin Áp dụng Định lý Cosin để tính \(\cos A\): \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] \[ \cos A = \frac{4^2 + (2,05)^2 - 3^2}{2 \cdot 4 \cdot 2,05} \] \[ \cos A = \frac{16 + 4,2025 - 9}{16,4} \] \[ \cos A = \frac{11,2025}{16,4} \] \[ \cos A \approx 0,683 \] Do đó, phương án a) \(\cos A = 0,68\) là gần đúng. Bước 4: Tính \(\widehat{A}\) theo \(\cos A\) Từ \(\cos A \approx 0,683\), ta có thể suy ra \(\widehat{A}\) bằng cách sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính: \[ \widehat{A} \approx \cos^{-1}(0,683) \] \[ \widehat{A} \approx 47^\circ \] Do đó, phương án b) \(\widehat{A} = 77,2^\circ\) là sai. Kết luận Phương án đúng là: d) \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\) Đáp án: d) \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\) Câu 4. Để giải quyết các yêu cầu trong câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Cần tìm 5 giá trị nguyên của \( m \) sao cho \( C \cap B \) có 8 tập hợp con, biết rằng \( C = \{0, 2, m, m + 2\} \). - Tập hợp \( B = \{0, 1, 2, 3\} \). - Để \( C \cap B \) có 8 tập hợp con, \( C \cap B \) phải có 3 phần tử (vì \( 2^3 = 8 \)). Do đó, \( C \cap B \) phải có 3 phần tử, nghĩa là \( C \) phải có ít nhất 3 phần tử chung với \( B \). Các trường hợp có thể xảy ra: 1. \( m = 1 \): \( C = \{0, 2, 1, 3\} \Rightarrow C \cap B = \{0, 1, 2, 3\} \) (4 phần tử, không thỏa mãn). 2. \( m = -1 \): \( C = \{0, 2, -1, 1\} \Rightarrow C \cap B = \{0, 1, 2\} \) (3 phần tử, thỏa mãn). 3. \( m = 3 \): \( C = \{0, 2, 3, 5\} \Rightarrow C \cap B = \{0, 2, 3\} \) (3 phần tử, thỏa mãn). 4. \( m = -2 \): \( C = \{0, 2, -2, 0\} \Rightarrow C \cap B = \{0, 2\} \) (2 phần tử, không thỏa mãn). 5. \( m = 4 \): \( C = \{0, 2, 4, 6\} \Rightarrow C \cap B = \{0, 2\} \) (2 phần tử, không thỏa mãn). Như vậy, các giá trị \( m \) thỏa mãn là \( m = -1 \) và \( m = 3 \). Phần b) Kiểm tra \( A \cup B = \{0, 2\} \): - \( A = \{x \in \mathbb{R} | 2x - x^2 = 0\} \Rightarrow x(2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \Rightarrow A = \{0, 2\} \). - \( B = \{0, 1, 2, 3\} \). - \( A \cup B = \{0, 1, 2, 3\} \neq \{0, 2\} \). Vậy, \( A \cup B \neq \{0, 2\} \). Phần c) Kiểm tra \( B \setminus A = (1, 3) \): - \( A = \{0, 2\} \). - \( B = \{0, 1, 2, 3\} \). - \( B \setminus A = \{1, 3\} \neq (1, 3) \). Vậy, \( B \setminus A \neq (1, 3) \). Phần d) Kiểm tra \( (A \cap B) \cup (B \setminus A) = B \): - \( A \cap B = \{0, 2\} \). - \( B \setminus A = \{1, 3\} \). - \( (A \cap B) \cup (B \setminus A) = \{0, 1, 2, 3\} = B \). Vậy, \( (A \cap B) \cup (B \setminus A) = B \). Kết luận - Các giá trị \( m \) thỏa mãn là \( m = -1 \) và \( m = 3 \). - \( A \cup B \neq \{0, 2\} \). - \( B \setminus A \neq (1, 3) \). - \( (A \cap B) \cup (B \setminus A) = B \). Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để minh họa và tính toán số học sinh tham gia tiết mục hát. 1. Tổng số học sinh trong lớp là 45 học sinh. 2. Số học sinh bị khuyết tật và không tham gia bất kỳ tiết mục nào là 4 học sinh. 3. Số học sinh còn lại tham gia ít nhất một tiết mục là: \[ 45 - 4 = 41 \text{ học sinh} \] 4. Số học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob là 35 học sinh. 5. Số học sinh tham gia cả hai tiết mục là 10 học sinh. 6. Số học sinh chỉ tham gia tiết mục nhảy Flashmob là: \[ 35 - 10 = 25 \text{ học sinh} \] 7. Số học sinh tham gia ít nhất một tiết mục là 41 học sinh, trong đó có 25 học sinh chỉ tham gia tiết mục nhảy Flashmob và 10 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Vậy số học sinh chỉ tham gia tiết mục hát là: \[ 41 - (25 + 10) = 6 \text{ học sinh} \] 8. Tổng số học sinh tham gia tiết mục hát là: \[ 10 + 6 = 16 \text{ học sinh} \] Vậy có 16 học sinh trong lớp tham gia tiết mục hát. Đáp số: 16 học sinh