giúp vs ạaa

Câu 21: Để xác định các tập hợp \(A \cup B\), \(A \cap B\) và \(B \setminus A\) và biểu diễn chúng trên trục số, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định \(A \cup B\): - Tập hợp \(A \cup B\) là tập hợp tất cả các phần tử thuộc \(A\) hoặc \(B\) hoặc cả hai. - \(A = (-\infty; -1]\) - \(B = (-5; 3)\) Biểu diễn trên trục số: - \(A\) bao gồm các điểm từ \(-\infty\) đến \(-1\) (bao gồm \(-1\)). - \(B\) bao gồm các điểm từ \(-5\) đến \(3\) (không bao gồm \(-5\) và \(3\)). Kết hợp hai tập hợp này, ta có: \[ A \cup B = (-\infty; 3) \] 2. Xác định \(A \cap B\): - Tập hợp \(A \cap B\) là tập hợp các phần tử thuộc cả \(A\) và \(B\). - \(A = (-\infty; -1]\) - \(B = (-5; 3)\) Biểu diễn trên trục số: - \(A\) bao gồm các điểm từ \(-\infty\) đến \(-1\) (bao gồm \(-1\)). - \(B\) bao gồm các điểm từ \(-5\) đến \(3\) (không bao gồm \(-5\) và \(3\)). Phần giao của hai tập hợp này là: \[ A \cap B = (-5; -1] \] 3. Xác định \(B \setminus A\): - Tập hợp \(B \setminus A\) là tập hợp các phần tử thuộc \(B\) nhưng không thuộc \(A\). - \(A = (-\infty; -1]\) - \(B = (-5; 3)\) Biểu diễn trên trục số: - \(A\) bao gồm các điểm từ \(-\infty\) đến \(-1\) (bao gồm \(-1\)). - \(B\) bao gồm các điểm từ \(-5\) đến \(3\) (không bao gồm \(-5\) và \(3\)). Phần còn lại của \(B\) sau khi loại bỏ phần giao với \(A\) là: \[ B \setminus A = (-1; 3) \] Biểu diễn trên trục số: - \(A \cup B = (-\infty; 3)\): Biểu diễn bằng đoạn thẳng kéo dài vô tận về phía trái và kết thúc ở 3 (không bao gồm 3). - \(A \cap B = (-5; -1]\): Biểu diễn bằng đoạn thẳng bắt đầu từ -5 (không bao gồm -5) và kết thúc ở -1 (bao gồm -1). - \(B \setminus A = (-1; 3)\): Biểu diễn bằng đoạn thẳng bắt đầu từ -1 (không bao gồm -1) và kết thúc ở 3 (không bao gồm 3). Đáp số: \[ A \cup B = (-\infty; 3) \] \[ A \cap B = (-5; -1] \] \[ B \setminus A = (-1; 3) \] Câu 22: Để lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = x^2 - 2x - 3$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng của hàm số Hàm số $y = x^2 - 2x - 3$ là một hàm bậc hai, có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a = 1$, $b = -2$, và $c = -3$. Vì $a > 0$, đồ thị của hàm số này là một parabol mở rộng lên trên. Bước 2: Tìm đỉnh của parabol Đỉnh của parabol có tọa độ $(x_0, y_0)$, trong đó: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \] \[ y_0 = f(x_0) = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \] Vậy đỉnh của parabol là $(1, -4)$. Bước 3: Xác định các điểm đặc biệt khác - Giao điểm với trục $Oy$: Thay $x = 0$ vào phương trình hàm số: \[ y = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 \] Vậy giao điểm với trục $Oy$ là $(0, -3)$. - Giao điểm với trục $Ox$: Giải phương trình $x^2 - 2x - 3 = 0$ \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình này: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 \] Suy ra: \[ x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Vậy giao điểm với trục $Ox$ là $(3, 0)$ và $(-1, 0)$. Bước 4: Lập bảng biến thiên Ta lập bảng biến thiên dựa trên các thông tin đã tìm được: | $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $3$ | $+\infty$ | |-----|-----------|------|-----|-----|-----------| | $y$ | $+\infty$ | $0$ | $-4$| $0$ | $+\infty$ | Bước 5: Vẽ đồ thị - Đồ thị là một parabol mở rộng lên trên. - Đỉnh của parabol là $(1, -4)$. - Giao điểm với trục $Oy$ là $(0, -3)$. - Giao điểm với trục $Ox$ là $(3, 0)$ và $(-1, 0)$. Kết luận Bảng biến thiên và đồ thị của hàm số $y = x^2 - 2x - 3$ đã được lập và vẽ dựa trên các thông tin trên. Câu 23: a. Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CA}$: - Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (3 - 0, 1 - (-2)) = (3, 3) \] - Tọa độ của $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (-1 - 3, 5 - 1) = (-4, 4) \] - Tọa độ của $\overrightarrow{CA}$: \[ \overrightarrow{CA} = (x_A - x_C, y_A - y_C) = (0 - (-1), -2 - 5) = (1, -7) \] b. Tìm tọa độ điểm I sao cho tứ giác IABC là hình hình hành: Trong hình hình hành, hai vectơ đối diện bằng nhau. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CA} \] Tọa độ của $\overrightarrow{IA}$: \[ \overrightarrow{IA} = (x_I - x_A, y_I - y_A) = (-4, 4) \] \[ (x_I - 0, y_I + 2) = (-4, 4) \] \[ x_I = -4, \quad y_I + 2 = 4 \Rightarrow y_I = 2 \] Tọa độ của $\overrightarrow{IB}$: \[ \overrightarrow{IB} = (x_I - x_B, y_I - y_B) = (1, -7) \] \[ (x_I - 3, y_I - 1) = (1, -7) \] \[ x_I - 3 = 1 \Rightarrow x_I = 4, \quad y_I - 1 = -7 \Rightarrow y_I = -6 \] Như vậy, tọa độ của điểm I là: \[ I(4, -6) \] Đáp số: a. $\overrightarrow{AB} = (3, 3)$, $\overrightarrow{BC} = (-4, 4)$, $\overrightarrow{CA} = (1, -7)$ b. Tọa độ điểm I là $I(4, -6)$ Câu 24: Để xác định \( M \cup N \), trước tiên chúng ta cần xác định các tập hợp \( M \) và \( N \). 1. Tập hợp \( M \): \[ M = [0; 2] \] 2. Tập hợp \( N \): \[ N = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid \frac{1}{|x - 2|} > 2 \right\} \] Chúng ta sẽ giải bất phương trình \( \frac{1}{|x - 2|} > 2 \): - Nhân cả hai vế với \( |x - 2| \) (với điều kiện \( |x - 2| \neq 0 \)): \[ 1 > 2|x - 2| \] \[ \frac{1}{2} > |x - 2| \] - Điều này tương đương với: \[ |x - 2| < \frac{1}{2} \] - Ta có thể viết lại điều kiện này thành: \[ -\frac{1}{2} < x - 2 < \frac{1}{2} \] - Cộng thêm 2 vào tất cả các vế: \[ 2 - \frac{1}{2} < x < 2 + \frac{1}{2} \] \[ \frac{3}{2} < x < \frac{5}{2} \] Do đó, tập hợp \( N \) là: \[ N = \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) \] 3. Xác định \( M \cup N \): \[ M = [0, 2] \] \[ N = \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) \] Kết hợp hai tập hợp này, ta có: \[ M \cup N = [0, 2] \cup \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) \] Vì đoạn \( [0, 2] \) bao gồm khoảng \( \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \), nên ta có thể viết: \[ M \cup N = [0, \frac{5}{2}) \] Đáp số: \[ M \cup N = [0, \frac{5}{2}) \]