tìm các số nguyên tố p,q sao cho p+q,pq+q là các số chính phương Trình bày chi tiết giúp mình

Để tìm các số nguyên tố \( p \) và \( q \) sao cho \( p + q \) và \( pq + q \) là các số chính phương, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xét điều kiện \( p + q \) là số chính phương: Giả sử \( p + q = k^2 \) với \( k \) là số nguyên. 2. Xét điều kiện \( pq + q \) là số chính phương: Ta có \( pq + q = q(p + 1) \). Giả sử \( q(p + 1) = m^2 \) với \( m \) là số nguyên. 3. Phân tích các trường hợp: - Trường hợp 1: \( q = 2 \) Thay vào \( p + q = k^2 \): \[ p + 2 = k^2 \implies p = k^2 - 2 \] Thay vào \( pq + q = m^2 \): \[ 2(p + 1) = m^2 \implies 2(k^2 - 1) = m^2 \implies 2k^2 - 2 = m^2 \implies 2(k^2 - 1) = m^2 \] Để \( 2(k^2 - 1) \) là số chính phương, \( k^2 - 1 \) phải là số chính phương chia hết cho 2. Kiểm tra các giá trị \( k \): - \( k = 3 \): \( k^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \) (không là số chính phương) - \( k = 5 \): \( k^2 - 1 = 25 - 1 = 24 \) (không là số chính phương) - \( k = 7 \): \( k^2 - 1 = 49 - 1 = 48 \) (không là số chính phương) Do đó, không có giá trị \( k \) thỏa mãn. - Trường hợp 2: \( q \) là số lẻ Thay vào \( p + q = k^2 \): \[ p + q = k^2 \implies p = k^2 - q \] Thay vào \( pq + q = m^2 \): \[ q(p + 1) = m^2 \implies q(k^2 - q + 1) = m^2 \] Để \( q(k^2 - q + 1) \) là số chính phương, \( k^2 - q + 1 \) phải là số chính phương. Kiểm tra các giá trị \( q \): - \( q = 3 \): \( k^2 - 3 + 1 = k^2 - 2 \) (không là số chính phương) - \( q = 5 \): \( k^2 - 5 + 1 = k^2 - 4 \) (không là số chính phương) - \( q = 7 \): \( k^2 - 7 + 1 = k^2 - 6 \) (không là số chính phương) Do đó, không có giá trị \( q \) thỏa mãn. 4. Kết luận: Sau khi kiểm tra các trường hợp, không tìm thấy các số nguyên tố \( p \) và \( q \) thỏa mãn điều kiện \( p + q \) và \( pq + q \) là các số chính phương. Vậy, không có các số nguyên tố \( p \) và \( q \) thỏa mãn điều kiện trên.