cho a,b,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

Để chứng minh rằng \((a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc\) với \(a, b, c\) là các số không âm, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số: - Ta có: \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\) - \(b + c \geq 2\sqrt{bc}\) - \(c + a \geq 2\sqrt{ca}\) Bước 2: Nhân ba bất đẳng thức này lại với nhau: \[ (a + b)(b + c)(c + a) \geq (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) \] Bước 3: Đơn giản hóa vế phải: \[ (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ca} = 8 \sqrt{(ab)(bc)(ca)} = 8 \sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ (a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc \] Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c\). Đáp số: \((a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc\)