Giúp mình với! Cho $xy+yz+zx=1.$ Tính giá trị của biểu thức sau:,$P=\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2+1}.\frac{y^2+2yz+z^2}{2(y^2+1)}.\frac{z^2+2zx+x^2}{3(z^2+1)}.$

Question

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $xy + yz + zx = 1$.

Ta có biểu thức:
$$ P = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + 1} \cdot \frac{y^2 + 2yz + z^2}{2(y^2 + 1)} \cdot \frac{z^2 + 2zx + x^2}{3(z^2 + 1)}. $$

Nhận thấy rằng:
$$ x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2, $$
$$ y^2 + 2yz + z^2 = (y + z)^2, $$
$$ z^2 + 2zx + x^2 = (z + x)^2. $$

Do đó, ta có thể viết lại biểu thức $P$ như sau:
$$ P = \frac{(x + y)^2}{x^2 + 1} \cdot \frac{(y + z)^2}{2(y^2 + 1)} \cdot \frac{(z + x)^2}{3(z^2 + 1)}. $$

Bây giờ, ta sẽ sử dụng điều kiện $xy + yz + zx = 1$. Ta sẽ chứng minh rằng:
$$ x^2 + 1 = x^2 + xy + yz + zx = (x + y)(x + z), $$
$$ y^2 + 1 = y^2 + xy + yz + zx = (y + z)(y + x), $$
$$ z^2 + 1 = z^2 + xy + yz + zx = (z + x)(z + y). $$

Thay vào biểu thức $P$:
$$ P = \frac{(x + y)^2}{(x + y)(x + z)} \cdot \frac{(y + z)^2}{2(y + z)(y + x)} \cdot \frac{(z + x)^2}{3(z + x)(z + y)}. $$

Rút gọn các phân số:
$$ P = \frac{x + y}{x + z} \cdot \frac{y + z}{2(y + x)} \cdot \frac{z + x}{3(z + y)}. $$

Nhận thấy rằng các phân số này có thể được rút gọn:
$$ P = \frac{x + y}{x + z} \cdot \frac{y + z}{2(y + x)} \cdot \frac{z + x}{3(z + y)} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}. $$

Vậy giá trị của biểu thức $P$ là:
$$ \boxed{\frac{1}{6}}. $$