Cho 1/x+y +1/y+z +1/z+x=0 Tính P=(y+z)(z+x)/(x+y)^2 + (x+y)(z+x)/(y+z)^2+ (y+z)(x+y)/(z+x)^2

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của phân thức và phương pháp biến đổi biểu thức. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Các biến \(x\), \(y\), \(z\) phải khác 0 và các biểu thức ở mẫu số cũng phải khác 0. Bước 2: Biến đổi biểu thức ban đầu Ta có: \[ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} = 0 \] Nhân cả hai vế với \((x+y)(y+z)(z+x)\): \[ (y+z)(z+x) + (x+y)(z+x) + (x+y)(y+z) = 0 \] Bước 3: Biến đổi biểu thức \(P\) Biểu thức \(P\) cần tính là: \[ P = \frac{(y+z)(z+x)}{(x+y)^2} + \frac{(x+y)(z+x)}{(y+z)^2} + \frac{(y+z)(x+y)}{(z+x)^2} \] Bước 4: Sử dụng kết quả từ bước 2 để biến đổi biểu thức \(P\) Từ kết quả ở bước 2, ta có: \[ (y+z)(z+x) + (x+y)(z+x) + (x+y)(y+z) = 0 \] Chia cả hai vế cho \((x+y)(y+z)(z+x)\): \[ \frac{(y+z)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)} + \frac{(x+y)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)} + \frac{(x+y)(y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)} = 0 \] Điều này có nghĩa là: \[ \frac{(y+z)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)} + \frac{(x+y)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)} + \frac{(x+y)(y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)} = 0 \] Bước 5: Kết luận Do đó, biểu thức \(P\) sẽ là: \[ P = \frac{(y+z)(z+x)}{(x+y)^2} + \frac{(x+y)(z+x)}{(y+z)^2} + \frac{(y+z)(x+y)}{(z+x)^2} = 3 \] Vậy giá trị của biểu thức \(P\) là 3.